Простые и составные числа

Представим себе такую историю…

– Саша, давай с тобой сыграем в одну игру, – предложил другу Паша.

– Что за игра? – решил уточнить Саша.

– В общем, смотри: перед тобой таблица, в которой записан ряд натуральных чисел начиная с 2 и заканчивая 100, – начал Паша. – Тебе нужно взять число, а потом вычёркивать все числа, которые на него делятся. Вот, например, возьмём число 2, обведём его в кружочек, чтобы не потерять, и вычеркнем из этой таблицы все числа кратные двум.

– Понятно – прошептал Саша. – Значит, вычёркиваю все чётные числа.

– Хорошо! – продолжил Паша. — Следующее незачёркнутое число – 3. Обведём его в кружок. А теперь из оставшихся чисел тебе нужно вычеркнуть все числа кратные 3.

– Так… – начал размышлять Саша. — Если сумма цифр числа делится нацело на 3, то и само число делится нацело на 3.

И Саша принялся вычёркивать числа.

– Молодец! – поддержал друга Паша. – Следующее незачёркнутое число – 5. Значит, из оставшихся чисел тебе нужно вычеркнуть все числа кратные 5.

– Ага! Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится нацело на 5 – сказал Саша. И занялся вычёркиванием чисел.

– Отлично! – сказал Паша. – Перейдём к следующему незачёркнутому числу. И это 7. То есть теперь ты должен вычеркнуть из оставшихся чисел все числа кратные 7.

– Ну, признака делимости на 7 мы ещё не знаем, – задумался Саша, – значит, буду просто вычёркивать все числа, которые делятся на 7.

И Саша принялся вычёркивать числа.

– Ну вот и всё! – сказал Паша. – Наша игра окончена. Посмотри, в таблице у тебя остались только числа, которые делятся на 1 и сами на себя.

– И точно! – заметил Саша.

– То, что мы сейчас с тобой делали, называют «решето Эратосфена», – продолжил Паша.

– А почему решето? – спросил Саша. – Разве эта таблица с дырочками?

– Название «решето» метод получил потому, что, согласно легенде, Эратосфен (это древнегреческий математик) писал числа на дощечке, покрытой воском, и прокалывал дырочки в тех местах, где были написаны числа, имеющие больше двух делителей. Поэтому дощечка являлась неким подобием решета, через которое «просеивались» все числа, имеющие больше двух делителей, а оставались только простые числа. Эратосфен дал таблицу простых чисел до 1000.

– А что это за простые числа? – спросил Саша.

– Давай спросим у Мудряша, – предложил Паша. – Он точно сможет нам помочь.

– Ребята, прежде чем я вас познакомлю с простыми числами, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

 – Давайте сверимся! – сказал Мудряш. — Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– Ну а теперь вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. — Как вы уже знаете, все натуральные числа имеют делители. И вы, кстати, уже научились их находить с помощью свойств и признаков делимости. Меньше всего делителей у числа 1. Единственным его делителем является само это число. А вот любое другое натуральное число а имеет по крайней мере два делителя – 1 и само число а.

– А ведь действительно, – сказали мальчишки, – если число а разделить на 1, то получится а, а если число а разделить на а, то получится 1.

– Некоторые натуральные числа имеют ровно два делителя, – продолжил Мудряш. – Например, число 13 делится только на 1 и на 13. Другие же числа могут иметь больше двух делителей. Например, числа 6 и 18. Число 6 имеет четыре делителя: 1, 2, 3 и 6. А вот число 18 – шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9 и 18.

– Запомните! – сказал Мудряш. – Натуральное число называют простым, если оно имеет только два натуральных делителя: единицу и само это число. Натуральное число называют составным, если оно имеет больше двух натуральных делителей.

– Может, вы сможете привести примеры простых и составных чисел? – спросил Мудряш у ребят.

– Простыми числами являются, – начали мальчишки, – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и так далее. А составными числами будут: 8, 12, 16 и так далее.

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. — Обратите внимание: число 2 – это наименьшее простое число. Кстати, это единственное чётное простое число. Потому что любое другое чётное число имеет по крайней мере три делителя: число 1, число 2 и само число. Простых чисел бесконечно много. Наибольшего простого числа не существует.

– Таким образом, – продолжил Мудряш, – все натуральные числа, в зависимости от количества делителей, можно разбить на три группы: 1 (один делитель), простые числа (два делителя) и составные числа (три и более делителей).

– А как узнать, глядя на число, простое оно или составное? – спросили мальчишки.

– Хороший вопрос! – обрадовался Мудряш. – Если число небольшое, то можно перебрать одно за другим все числа, которые могут быть его делителями. Например, возьмём число 11. Его делители могут встретиться лишь среди чисел от 1 до 11. Понятно, что 1 и 11 – делители числа 11. А перебирая одно за другим числа от 2 до 10, мы убедимся, что ни на одно из них число 11 не делится. Так что у числа 1 только два делителя. Значит, оно простое.

– А если число большое? – решили уточнить мальчишки.

– Если число большое, то понятно, что перебирать числа в поисках его делителей придётся слишком долго, – начал Мудряш.  – А чтобы не тратить время на эту однообразную работу, пользуются таблицей простых чисел. На экране вы как раз и видите её.

– А как пользоваться этой таблицей? – спросили ребята.

– Здесь нет ничего сложного, – ответил Мудряш. — Вы должны просто посмотреть, есть в таблице интересующее вас число или нет. Если его в таблице нет – значит, оно составное. Конечно, учить эту таблицу наизусть не стоит. Но если вы запомните хотя бы все однозначные и двузначные простые числа, то это значительно упростит вычисления по многим темам школьной программы.

– Интересно, что последовательность простых чисел имеет много необычных свойств и тайн. Так, например, учёные Древней Эллады отметили, что среди простых чисел много таких, разность которых равна двум, например: 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19 и так далее. Подобные пары чисел называют простыми числами близнецами.

– А для чего вообще нужны простые числа? – спросили ребята.

– Простые числа помогают в поиске делителей, – начал Мудряш. — Так, например, возьмём число 510. Понятно, что оно составное, то есть имеет более двух делителей. Если мы представим это число в виде суммы разрядных слагаемых, то заметим, что оно не делится на 7. А значит, уже не нужно проверять его делимость ни на 14, ни на 21, ни на 28 и так далее.

– Запомните! – сказал Мудряш. – Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, то есть разложить на простые множители.

– А как это делают? – спросили ребята.

– Число 110 можно разложить в произведение чисел не равных единице. Например, 110 равно произведению 10 и 11. В свою очередь, число 10 тоже составное число. Значит, его тоже можно разложить в произведение, то есть . А тогда число 110 можно представить в виде произведения 2, 5 и 11. Обратите внимание: в правой части равенства все множители – простые числа. То есть мы с вами сейчас записали число 110 в виде произведения простых чисел. Говорят, что число 110 разложили на простые множители.

– Запомните! Разложить натуральное число на простые множители – значит представить его в виде произведения простых множителей.

– При разложении числа на простые множители удобно пользоваться схемой, – продолжил Мудряш. — Давайте я вам покажу эту схему на примере разложения числа 2940.

– Итак, 2940 — чётное число, значит, оно делится на 2. При делении получим 1470. Число 1470 также чётное. Значит, можем поделить его на 2. Получим 735. Заметим, что сумма цифр числа 735 равна 15. Значит, это число делится на 3. Разделим его. Получим 245. Число 245 оканчивается цифрой 5. Значит, оно делится на 5. Разделим. Получим 49. В свою очередь, число 49 делится на 7. Число 7 также делится на 7. И в результате получим 1.

– Обратите внимание: числа, расположенные друг под другом слева от вертикальной черты, получаются при последовательном делении на простые числа, записанные справа от черты.

– Теперь можем записать число 2940 в виде произведения простых множителей. . Заметим, что в разложении числа присутствуют одинаковые множители — это две 2 и две 7. Как правило, одинаковые множители заменяют их степенями. Тогда .

– А все составные числа можно разложить на простые множители или есть исключения? – спросили мальчишки.

– Любое составное число можно разложить на простые множители, – ответил Мудряш. – При этом каждое число имеет своё, единственное разложение на простые множители, если не учитывать, в каком порядке они записаны. Утверждение о единственности разложения на простые множители называют основной теоремой арифметики.

А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним задание.

Итак, заполните таблицу. Если значение выражения — простое число, то во втором столбце таблицы поставьте знак «галочка», если составное – то в третьем столбце.

Решение: первое числовое выражение — сумма двух частных: 14 и 2, и 32 и 8. Первое частное равно 7, второе – 4. Тогда сумма равна 11. Число 11 – это простое число.

Следующее выражение: разность числа 25 и суммы частного чисел 6 и 2, и произведения 2 и 5. Частное равно 3, произведение – 10. Тогда сумма равна 13. Осталось вычислить разность. 25 минус 13 равно 12. Число 12 составное.

И последнее выражение: произведение суммы чисел 45 и 28, и разности числа 22 и произведения 3 и 7. Сумма равна 73. Произведение 3 и 7 равно 21. А разность 22 и 21 равна 1. Тогда произведение 73 и 1 равно 73. Число 73 простое.