Сегодня на уроке мы с вами поговорим о функции . Познакомимся с графиком функции . А также рассмотрим основные свойства этой функции.
Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте напомним, что областью определения функции является множество действительных чисел, кроме , . Множеством значений функции является множество действительных чисел. Также мы знаем, что функция является нечётной и периодической с периодом .
Известно, что график нечётной функции симметричен относительно начала координат. Поэтому мы построим график функции на промежутке , а затем отразим его относительно начала координат и получим график на интервале .
Прежде чем начать строить график функции на промежутке , покажем, что на этом промежутке функция возрастает.
Пусть . Покажем, что , то есть .
По условию и. , входит в указанный промежуток. А также по свойству возрастания функции имеем .
, не входит в указанный промежуток. А также по свойству убывания функции имеем , откуда .
Теперь, перемножив неравенство и неравенство , получим, что . Таким образом, мы показали, что функция возрастает на промежутке .
Зная это, найдём координаты нескольких точек графика функции . Заполним таблицу.
Отметив полученные точки на координатной плоскости, построим график функции на промежутке . Теперь отразим построенный график относительно начала координат и получим график на интервале .
Мы знаем, что и при функция не определена.
Если и приближается к , то приближается к 1, а , оставаясь положительным, приближается к 0. При этом дробь , равная , неограниченно возрастает, и поэтому график функции приближается к вертикальной прямой .
Аналогичным образом при отрицательных значениях , больших и приближающихся к , график функции приближается к вертикальной прямой .
Прямые и являются вертикальными асимптотами графика функции .
Функция периодическая с периодом . Тогда её график на всей области определения получается из графика на интервале сдвигами вдоль оси абсцисс на , .
Так, весь график рассматриваемой функции строится с помощью геометрических преобразований его части, которую мы построили на промежутке .
График функции называется тангенсоидой.
А сейчас давайте поговорим об основных свойствах функции .
Итак, область определения функции – множество действительных чисел, кроме , . Множество значений – множество всех действительных чисел. Функция периодическая с периодом . Нечётная.
Функция принимает значение, равное 0, при , .
Положительные значения функция принимает на интервалах , , а отрицательные – на интервалах , .
Функция возрастает на любом интервале , .
А сейчас давайте выполним несколько заданий.
Задание первое. Найдите все корни уравнения , принадлежащие отрезку .
Решение.
Задание второе. Найдите все решения неравенства , принадлежащие отрезку .
Решение.
Задание третье. Решите неравенство .
Решение.