Представление чисел в компьютере. Целые числа

Вопросы занятия:

·        правила представления данных в компьютере;

·        множество целых чисел, представимых в памяти компьютера, дискретно, конечно и ограничено;

·        диапазон целых чисел, хранящихся в одном байте памяти в двух вариантах: со знаком и без знака.

От того, какая система счисления будет использована в компьютере, зависят скорость вычислений, ёмкость памяти, сложность алгоритмов выполнения арифметических операций.

Десятичная система счисления, привычная для нас, не является наилучшей для использования в компьютере. Наиболее надёжной и дешёвой является конструкция, когда электронные элементы, на которых построены современные компьютеры, могут находиться только в двух состояниях. Одно состояние можно закодировать цифрой ноль, другое – цифрой один. Такое кодирование называется двоичным.

Компьютеры используют двоичную систему счисления, потому что она имеет ряд преимуществ перед другими системами.

•                    Для её реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями.

•                    Представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво.

•                    В двоичной системе счисления предельно просто выполняются арифметические операции.

К недостатку двоичной системы счисления можно отнести лишь быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел, то есть запись получается длинной.

Оперативная память компьютера состоит из ячеек, каждая из которых представляет собой физическую систему, состоящую из некоторого числа однородных элементов. Эти элементы обладают двумя устойчивыми состояниями, одно из которых соответствует 0, а другое — 1.

Как вы помните, данные и программы хранятся в памяти компьютера в виде 1 и 0, то есть в двоичном виде.

Если мы представим память компьютера, то выглядеть он будет приблизительно следующим образом:

Выделим основные правила представления данных в компьютере.

1. Данные и программы в памяти компьютера хранятся в двоичном виде.

На сегодняшний момент компьютеры могут обрабатывать числовую, текстовую, графическую и звуковую информацию, причём данный двоичный код, может относиться к любому типу данных.

2. Представление данных в компьютере имеет дискретную структуру.

3. Память компьютера не безгранична, и множество представимых в памяти компьютера величин ограничено и конечно.

Давайте разберёмся с дискретной структурой представления данных или дискретностью.

Само слово дискретный, означает разделённый или прерывистый. Для сравнения вспомните из детства, например, конструктор Лего. Его всегда можно разделить на отдельные элементы – детали.

Самым часто используемым видом данных, с которым работает компьютер, является числовой вид.

По определению целые числа – это натуральные числа, числа противоположные натуральным и ноль.

Отрицательные числа в математике начали использовать в семнадцатом веке, с появлением аналитической геометрии, тогда они получили наглядное геометрическое представление на числовой оси.

До этого момента отрицательные числа были частично узаконены в Китае, а затем, примерно с 7 века, и в Индии, где трактовались как долги (недостача), или, как у Диофанта, признавались как временные значения.

В математике ряд целых чисел бесконечен и неограничен. Ясно, что ряд целых чисел дискретен. Для представления бесконечности целых чисел на числовой оси используется символом «горизонтальная восьмёрка» который и обозначает бесконечность.

Обратите внимание,

То есть разность между соседними числами целого ряда всегда равна единице. Эту величину назовём шагом числовой последовательности.

Любое вычислительное устройство работает всегда с ограниченным количеством целых чисел. Давайте посмотрим на самое большое, положительное целое число на индикаторном табло калькулятора. А самое маленькое отрицательное число будет по модулю равно положительному числу.

Учитывая, что информация в компьютере задаётся в двоичном виде, представим, как будет выглядеть самое большое целое число на компьютере.

Если под целое число выделяется ячейка памяти размером в 16 бит, то самое большое целое положительное число будет выглядеть следующим образом:

Здесь первый бит указывает на то, какое у нас число положительное или отрицательное, так 0 – указывает, что число положительное.

В десятичной системе счисления оно будет равно 32 767.

Самое большое по модулю отрицательное число -32 768.

Для представления целого отрицательного числа используется дополнительный код.

Дополнительным кодом двоичного числа X в N-разрядной ячейке является число, дополняющее его до значения 2^N.

Тогда, чтобы получить дополнительный код, необходимо:

1. получить внутреннее представление положительного числа, то есть прямой код;

2. Получить обратный код этого числа. Для этого нужно все разряды числа инвертировать, то есть заменить нули на единицы и единицы на нули;

3. По правилам сложения двоичных чисел к полученному числу прибавить единицу.

Необходимо отметить, что положительное число в прямом, обратном и дополнительном кодах не меняют своё изображение.

Использование дополнительного кода позволяет заменить операцию вычитания на операцию сложения. То есть А – B =  А + (– B).

Тогда процессору достаточно уметь лишь складывать числа.

Получим внутреннее представление самого большого по модулю отрицательного числа.

1. Сначала нужно перевести число 32 768 в двоичную систему счисления. Это сделать просто, так как 32 768 — это 2¹⁵.

2. Необходимо инвертировать этот двоичный код, то есть нужно все единицы заменить на нули, а нули на единицы.

Третье. Теперь по правилам двоичной арифметики необходимо к этому двоичному коду прибавить единицу.

В результате мы получили самое большое по модулю отрицательное число. 

Единица в первом бите означает, что число отрицательное. И не смотря на то что затем идут все нули, это все же не минус ноль, а именно -32 768  в машинном виде.

Итак, мы выяснили диапазон значений целых чисел, если под целое число в памяти компьютера отводится шестнадцать бит. А если в памяти отводится N бит? Тогда диапазон значений целых чисел со знаком выглядит следующим образом:

То есть мы можем сделать вывод, что ограниченность целого числа в компьютере возникает из-за ограничений на размер ячейки памяти. Тогда получается, что множество целых чисел в памяти компьютера - конечно.

Мы с вами рассмотрели формат представления целых чисел со знаком, то есть положительных и отрицательных.

Однако бывают случаи, когда необходимо работать только с положительными целыми числами, в таком случае используется формат представления целых чисел без знака.

В таком случае самое маленькое число для 16-разрядной ячейки будет 0 (все биты нули),

а самое большее число для 16-разрядной ячейки запишется в виде шестнадцати единиц (все биты единицы).

Для нас в десятичной системе счисления это число будет равно 2¹⁶ - 1 = 65 535.

Если использовать формат представления целых чисел со знаком, то там самое большое число 32767, при представлении целых чисел без знака, самое большое число почти в два раза больше по модулю и равно 65535.

Из всего выше сказанного, можно сделать вывод, что целые числа – в памяти компьютера - это дискретное, ограниченное и конечное множество.

Чтобы задать границы множества целых чисел, необходимо знать размер ячейки памяти, выделяемой под целое число и понимание с какими числами мы будем работать, только с положительными, положительными и отрицательными или только отрицательными. При этом шаг в компьютерном представлении, как и в математике, остаётся равным единице.

То есть бесконечное, неограниченное математическое множество целых чисел при переходе в компьютерную систему превращается в конечное и ограниченное множество.

Рассмотрим пример.

Необходимо получить внутреннее представление целого числа 1607 в 2-байтовой ячейке.

Решение:

Переведём число тысяча шестьсот семь в двоичную систему счисления. Как вы помните для этого нужно разделить число на 2. Если полученное частное больше нуля, то его снова необходимо разделить на 2 и так далее, пока частное не станет равным 0. В результате нужно записать в одну строку, справа налево все остатки, начиная с последнего. То есть получим следующее число

Нам необходимо получить внутреннее представление целого числа 1607 в 2-байтовой ячейке. Мы знаем, что в одном байте восемь бит. То есть нужно записать это число в 16-разрядную сетку ячейки.

Запись в ячейку начинаем с конца, то есть последнюю цифру нашего числа мы записываем в последний разряд ячейки, потом предпоследнюю цифру в предпоследний разряд ячейки и так далее.

Наше число состоит из одиннадцати цифр, а нам надо записать шестнадцатиразрядное число. Оставшиеся пустые разряды мы заполняем нулями.

Тогда внутреннее представление числа тысяча шестьсот семь будет выглядеть следующим образом

Рассмотрим следующий пример.

Получить внутреннее представление целого отрицательного числа минус 1607.

Итак, на уроке мы с вами выяснили, что для представления целого отрицательного числа используется дополнительный код.

Напомним, что старший разряд во внутреннем представлении любого положительного числа равен нулю, а отрицательного числа равен единице. Поэтому этот разряд называется знаковым разрядом/

Итак, рассмотрим решение:

1.     Мы уже получили внутреннее представление положительного числа 1607

2. Теперь получим обратный код, то есть заменим нули на единицы и единицы на нули

3. Получим дополнительный код, прибавим к обратному коду единицу.

Напомним, вся арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании двух таблиц сложения и умножения.

Так как нам необходимо к двоичному числу прибавить единицу рассмотрим таблицу сложения.

Как вы можете видеть первая строка и первый столбец заполнены числами ноль и один. При сложении всё очень просто. Ноль плюс ноль равно нулю. Один плюс ноль равно одному. А вот один плюс один будет равно числу, состоящему из единицы и нуля.

В нашем случае нужно к последнему нулю прибавить один. То есть получим внутреннее двоичное представление отрицательного числа

Bтоги урока.

 Правила представления данных в компьютере:

•                    данные и программы в памяти хранятся в двоичном виде;

•                    представление данных имеет дискретную структуру;

•                    память не безгранична.

Диапазон значений целых чисел со знаком:

Диапазон значений целых чисел без знака:

Множество целых чисел: 

в математике – бесконечное, неограниченное;

в информатике – конечное, ограниченное.