Сложение натуральных чисел. Свойства сложения

Давайте представим себе такую историю.

– Семь ромашек и восемь васильков… да как же их лучше разместить? – не мог сообразить Саша.

– А что ты делаешь? – спросил у друга Паша.

– Я собрал цветы и хочу сделать для мамы букет, – ответил Саша, – но не знаю, как лучше расположить в букете цветы. Сначала собрать 7 ромашек и к ним добавить 8 васильков или, наоборот, сначала собрать васильки и к ним добавить ромашки?

– Саша, так ведь нет же разницы… у тебя всего получается 15 цветов. И если ты будешь к ромашкам добавлять васильки или, наоборот, к василькам ромашки, у тебя всё равно получится букет из 15 цветов.

– Точно! И как я сразу не догадался! – удивился Саша. – Интересно, так со всеми числами получается?

– А давай спросим у Электроши, – предложил Паша.

– Ребята, прежде, чем я вам расскажу о сложении чисел, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Электроша.

– Давайте сверимся! Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– Ну а теперь поговорим о сложении натуральных чисел. Что значит сложить два числа? – спросил у ребят Электроша.

– Чтобы сложить числа, например, три и два, нужно к числу 3 два раза прибавить по 1. Получим 5, – сказал Саша.

– Да, но так вы складывали маленькие числа в начальной школе. А если бы вам нужно было сложить большие числа, например, 110 и 53? Способом, который предложил Саша, сложение вы будете записывать целый день. Представьте, какая длинная запись у вас получится.

Согласитесь, что такая запись очень неудобна и занимает много места в тетради. Поэтому сложение договорились записывать следующим образом: мы пишем просто 3 + 2 = 5 и 110 + 53 = 163.

На языке математики сложение записывают так: если сложить два натуральных числа а и b, то в результате получится новое натуральное число c. В этой записи буквами обозначены числа.

Запомните! Числа, которые складывают, называют слагаемыми, а число, которое получают при сложении чисел, или результат сложения называют суммой. Так, в наших примерах, в первой записи, числа 3 и 2 – это слагаемые, число 5 – их сумма. Точно так же и со второй записью. Числа 110 и 53 – слагаемые, а число 163 – сумма. Тогда и в равенстве а + b = c числа а и b называют слагаемыми, число c – суммой.

– Давайте найдём сумму чисел 1 523 160 и 3 477 340.

– Ого, какие большие числа! – удивились ребята. – Нам никогда в жизни не найти их сумму.

– Не переживайте! – успокоил ребят Электроша. – Для сложения многозначных натуральных чисел используют сложение столбиком. Такой способ сложения поможет быстрее решить пример и не сделать ошибок.

– Сложение столбиком? – удивились ребята. – Это как?

– Для того, чтобы сложить два многозначных числа столбиком, запишем два числа одно под другим таким образом, чтобы цифры соответствующих разрядов оказались на одном уровне, то есть единицы записываем под единицами, десятки – под десятками, сотни – под сотнями и так далее. Под нижним числом проведём черту, а слева от записанных чисел поставим знак сложения «плюс». Затем мы с вами будем складывать цифры в каждом разряде, начиная с младшего разряда (самого правого).

В наших числах, в разряде единиц, стоят нули. 0 + 0 = 0. Результат будем записывать под тем разрядом, в котором выполнено сложение.

Дальше в разряде десятков у нас стоят цифры 6 и 4. Складываем их и получаем 10. Обратите внимание, у нас получилось двузначное число, а место есть только для одной цифры. Запомните, если результат двузначный, на месте ответа записывают число единиц, а число десятков прибавляют к единицам соседнего старшего (находящегося слева от данного) разряда. То есть мы в разряде десятков пишем 0, а 1 прибавляем к цифрам, стоящим в разряде сотен. В наших числах, в разряде сотен, записаны цифры 1 и 3. В сумме они дают 4, и ещё помним, что у нас осталась 1 от сложения соседних чисел. Не забудем её добавить к нашей сумме. Получим 5.

Выполняя таким же образом сложение соседних цифр, в итоге получим 5 000 500.

– Электроша, теперь нам понятно, как складывают числа столбиком, – обрадовались ребята, – это очень просто и удобно!

– Когда вы собирали букет из цветов для Сашиной мамы, то вы обнаружили, что не имеет значения, в какой последовательности складывать эти цветы, всё равно в результате вы получаете букет из 15 цветов. Это очень важное свойство сложения, оно называется переместительным свойством сложения.

Запомните! От перестановки слагаемых сумма не меняется. В буквенном виде это свойство записывают так: a + b = b + a.

– А теперь помогите мне найти следующую сумму чисел, – попросил у ребят Электроша.

– Ну тут же всё легко! – сказал Саша. – Мы помним, что первым действием выполняют действие в скобках. То есть 15 складываем с 64… так…надо подумать, сколько же это будет… Получим 79. А потом сложим 79 и 36. И… сейчас я посчитаю… Получим 115.

– Результат у тебя получился правильный, – сказал Электроша. – Но этот пример можно было решить куда проще. Смотрите, если бы мы сложили сначала числа 64 и 36, то нам бы не составило труда увидеть, что их сумма равна 100. А потом прибавили бы 15 и получили 115.

Видим, что изменение расстановки скобок на сумму не влияет. Способ, который я сейчас использовал для решения примера, называют сочетательным свойством сложения.

Запомните! Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.

В буквенном виде это свойство записывают так: (a + b) + c = a + (b + c).

Сочетательное свойство сложения может облегчить вычисление суммы нескольких слагаемых.

Давайте найдём сумму чисел 367, 146, 254 и 133.

– Ой, Электроша, смотри, если мы сразу сложим числа 146 и 254, то получим 400, – заметил Саша.

– А потом мы можем сложить числа 367 и 133, – продолжил Паша. – Получим 500. И останется найти сумму чисел 400 и 500. Получается 900.

– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – Но польза от сочетательного свойства будет ещё больше, если его применять вместе с переместительным свойством сложения. Ведь переместительное свойство сложения позволяет ещё и переставлять слагаемые.

Вот, например, давайте найдём сумму чисел 37, 2, 113 и 98.

– Зная переместительное свойство сложения, мы можем поменять местами слагаемые 2 и 113, – предложил Паша. – А потом по отдельности найти суммы первых двух слагаемых и вторых двух слагаемых.

– Сумма первых двух чисел равна 150, – продолжил Саша. – А сумма вторых слагаемых равна 100.

– Тогда сумма всего выражения равна 250, – сказал Паша.

– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – Ещё вам нужно знать свойство нуля. Запомните! Если одно из двух слагаемых равно нулю, то сумма равна другому слагаемому.

Например, выполним сложение числа 7 с 0.

– У нас одно слагаемое равно нулю, – сказал Саша. – Значит, вся сумма равна второму слагаемому, то есть 7.

– Какие вы молодцы! – похвалил ребят Электроша. – А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним несколько заданий.

Задание первое: одно число – сто двадцать, а другое – на тридцать больше. Найдите сумму этих чисел.

Решение: запишем выражение. Первое число – 120, затем мы должны прибавить к нему второе число. А мы знаем, что второе число больше первого на 30. Значит, к 120 добавляем сумму чисел 120 и 30. В скобках получим 150. И тогда вся сумма равна 270.

Следующее задание: найдите значение выражения.

Решение: воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения и поменяем местами слагаемые. Нам удобно сложить 38 с 12, 23 с 37, 46 с 54 и 15 с числом 40. Сгруппируем слагаемые. Тогда сумма в первой скобке равна 50, во второй скобке – 60, в третьей – 100, и в последней скобке сумма равна 55. Посчитаем. В итоге получим 265.