Сокращение дробей

Представим себе такую историю…

– Саша, что случилось? – спросил у друга Паша.

– Да вот задумался я немного, – ответил Саша. – Смотри, в школе уроки у нас длятся по 45 минут.

– Ну да! – согласился Паша. – И что тут странного?

– Да ничего странного, – улыбнулся Саша. – Просто мне стало интересно, а какую часть часа занимает 1 урок?

– Так это же легко посчитать, – сказал Паша. – В 1 часе 60 минут, урок длится 45 минут. Тогда 45 минут от 1 часа составляют .

– То есть 1 урок занимает  часа? – задумался Саша. — Такая большущая дробь получилась.

– Ну, можно уменьшить эту дробь, – продолжил Паша. – Мы можем числитель и знаменатель нашей дроби разделить на 5. Получим дробь . Кстати, и эту дробь можно ещё уменьшить, – заметил Паша. — Числитель и знаменатель последней дроби  делятся на 3. Разделим эти числа. Получим дробь .

– Значит, 1 урок занимает  часа? – решил уточнить Саша.

– Всё правильно! – ответил Паша.

– А как это ты сейчас так всё посчитал? – спросил Саша. – Что это за способ такой?

– Я сейчас занимался сокращением дробей, – ответил Паша.

– Сокращением? – задумался Саша. – А что это за сокращение такое?

– А давай лучше спросим у Мудряша, – предложил Паша. – Он точно сможет всё объяснить.

– Ребята, прежде чем я вас познакомлю с сокращением дробей, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Давайте сверимся! – сказал Мудряш. — Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– Ну а теперь вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. — Но прежде давайте вспомним основное свойство дроби.

– Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь: , , – сказали мальчишки.

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. – Также вы знаете, что если числитель и знаменатель дроби разделить на их общий делитель, то получится равная ей дробь. – – – Когда вы искали, какую часть составляет урок длительностью 45 минут от часа, то вы получили дробь . Потом вы разделили числитель и знаменатель этой дроби на 5 и получили равную ей дробь . В таком случае говорят, что дробь  сократили на 5. Но потом Паша заметил, что дробь  можно ещё сократить на 3 и получили дробь . В таком случае говорят, что дробь  сократили на 3.

– Запомните! – сказал Мудряш. – Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от одного, называют сокращением дроби. При сокращении дробь заменяют равной дробью с меньшим числителем и меньшим знаменателем. Поэтому сокращение дробей облегчает вычисления.

– А почему мы остановились на дроби  и не стали дальше сокращать её? – спросил Саша.

– Не всякую дробь можно сократить, – ответил Мудряш. – Дробь  сократить нельзя, поскольку её числитель и знаменатель не имеют общих делителей, отличных от единицы, то есть являются взаимно простыми числами. В таком случае говорят, что дробь  – несократимая дробь.

– Запомните! – продолжил Мудряш. – Дробь, числитель и знаменатель которой – взаимно простые числа, называют несократимой. Если дробь можно сократить, то её обычно сокращают на наибольший общий делитель числителя и знаменателя. После такого сокращения общих делителей уже не остаётся, поэтому получается несократимая дробь.

– Вот и с вашей дробью  можно было также поступить, – продолжил Мудряш. – Вы дробь  сократили на 5, получили дробь , то есть  равно . В свою очередь, дробь  вы сократили на 3. Сократив дробь  на 3, вы получили дробь , которая уже является несократимой.

– Да! – согласились мальчишки. – Мы всё так и делали.

– Однако если дробь  сократить на 5 умножить на 3 равно 15, то несократимую дробь  можно было получить сразу: . Обратите внимание, нам удалось сразу получить несократимую дробь, поскольку число 15 – это есть наибольший общий делитель 45 и 60.

– Запомните! – сказал Мудряш. – Если сократить дробь на наибольший общий делитель числителя и знаменателя, то получится несократимая дробь.

– Давайте сократим дробь , – предложил Мудряш.

– Для начала найдём наибольший общий делитель числителя и знаменателя этой дроби, – сказал Паша. — Число 48 можно разложить на следующие простые множители: . А разложение на простые множители числа 84 имеет такой вид: . Выпишем общие множители наших чисел. Тогда наибольший общий делитель числителя и знаменателя нашей дроби равен 12.

– Осталось сократить дробь, – продолжил Саша. – Разделим числитель и знаменатель дроби  на 12. Получим дробь . Числа 4 и 7 взаимно простые. Значит, дробь  – несократимая.

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним несколько заданий.

Задание первое: сократите дроби: а) ;     б) ;     в) ;     г) ;     д) .

Решение: первая дробь — . Наибольший общий делитель числителя и знаменателя этой дроби равен 4. Значит, можем сократить дробь на 4. Получим дробь . Следующая дробь — . Наибольший общий делитель числителя и знаменателя этой дроби равен 15. Сократим дробь на 15. Получим дробь .

Следующая дробь . Здесь наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 11. Сократим. Получим дробь .

Перейдём к следующей дроби . В числителе дроби записано произведение 3 и 4, а в знаменателе – произведение 5 и 8. Можем сократить дробь на 4. Получим дробь .

И перейдём к последней дроби . Здесь снова числитель и знаменатель дроби представлены в виде произведений чисел. Можем сократить дробь на 8, затем сократим на 9 и потом сократим на 10. В результате получим дробь .

Следующее задание: представьте десятичные дроби в виде обыкновенной несократимой дроби: а) ;      б) ;       в) .

Решение: первая десятичная дробь 0,5. Представим её в виде обыкновенной дроби . Затем сократим на 5 и получим дробь .

Следующая дробь 0,75. Представим её в виде обыкновенной дроби . Сократим на 25. Получим дробь .

И последняя десятичная дробь — 0,875. Представим её в виде обыкновенной дроби . Сократим дробь сначала на 5. Получим дробь . Затем сократим дробь ещё на 5. Получим дробь . И сократим дробь ещё на 5. В результате получим дробь .