Нахождение приближенных значений квадратного корня

Вы уже научились находить значения некоторых квадратных корней. Например, таких как:

Но бывает так, что необходимо найти квадратный корень из числа, который уже нельзя так сходу определить. Тогда приходят к нахождению приближённых значений квадратного корня.

Например:

Надо найти .

До этого мы с вами уже говорили, что нет такого целого числа, квадрат которого бы равнялся двум.

Обратимся к параболе.

 Прямая  пересекает параболу в двух точках. Абсцисса первой точки расположена между числами -1 и -2, абсцисса второй точки между числами 1 и 2.

 А т.к. нас интересует арифметический квадратный корень, то рассматриваем только точку в первой координатной четверти (т.е. с положительной абсциссой). По рисунку можно лишь сказать, что значение корня из двух расположено между числами 1 и 2.

Попробуем все же вычислить приближённое значение  с двумя знаками после запятой. Будем рассуждать следующим образом:

Т.к. нужно вычислить  с точностью до двух знаков после запятой, то мы можем уже остановиться и не продолжать вычисления дальше. Поэтому имеем

Это и будет ответом. Если бы необходимо было вычислить ещё более точное значение, нужно было бы продолжать вычисления, повторяя снова и снова цепочку рассуждений. Данный приём позволяет извлекать арифметический квадратный корень с любой точностью.

Можно показать наши рассуждения относительно значения  на координатной прямой.

В первом шаге  показано, что значение  расположено между числами 1 и 2.  

Во втором шаге нашли значение корня с точностью до десятых. И пришли к выводу, что это значение заключено между числами 1,4 и 1,5.

Затем, в третьем шаге показано, что значение  расположено между числами 1,41 и 1,42 с точностью до сотых. И т.д..

В практических расчётах для нахождения приближённых значений квадратных корней используют специальные таблицы или вычислительную технику.

Рассмотрим, как можно находить значения квадратных корней с помощью калькулятора.

Для этого используют клавишу, на которой изображён знак квадратного корня. Чтобы извлечь корень из некоторого числа, нужно ввести это число в калькулятор. Пауза нажать клавишу со знаком корня. И на экране высветится приближённое значение корня.

Убедимся в правильности работы калькулятора. Сначала давайте попробуем найти значение корня, которого вы уже помните наизусть.

Например:

Нужно найти значение . Конечно, вы с ходу скажите, что оно равно 5. Проверим. Вводим в калькулятор число 25, затем нажимаем волшебную клавишу со знаком корня и видим… значение равно 5.

Проверим, правильно ли мы рассуждали относительно значения . Вводим число 2 в калькулятор, нажимаем клавишу с корнем и видим такие цифры: 1, запятая, 4, 1 и дальше ещё много циферок. Обратите внимание, получили бесконечную непериодическую дробь, т.е. значение  – иррациональное число. Но т.к. нам нужно было найти приближённое значение  с точностью до сотых, то мы убедились, что .

Задание:         

Сравните числа.

Решение: