Видеоучебник / Математика / Подготовка к ЕГЭ по математике / Показательные уравнения. Логарифмические уравнения

Показательные уравнения. Логарифмические уравнения

Урок 15. Подготовка к ЕГЭ по математике

В этом видеоуроке мы напомним, какие уравнения называют показательными. Рассмотрим некоторые виды показательных уравнений и методы их решения. Также вспомним, какие уравнения называют логарифмическими. Повторим основные их виды и методы решения.

Конспект урока "Показательные уравнения. Логарифмические уравнения"

Напомним, что показательным называется уравнение, содержащее переменные только в показателе степени.

Уравнение , где и , называется простейшим показательным.

Если , то уравнение имеет единственное решение .

Если , то уравнение не имеет корней.

Решение показательных уравнений основано на свойстве степеней: две степени с одним и тем же положительным и отличным от единицы основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Давайте рассмотрим некоторые виды показательных уравнений и методы их решения.

1. Приведение обеих частей уравнения к одному основанию .

Полученное уравнение при и равносильно уравнению .

Уравнение вида , при , равносильно уравнению , так как .

Решите уравнение .

Решение.

2. Вынесение общего множителя за скобки в уравнениях, в левой части которых записана сумма или разность степеней с одним основанием.

Например, .

Причём, если , выносится степень с меньшим показателем, если , – степень с большим показателем.

Решите уравнение . .

Решение.

3. Уравнения вида

где , , – некоторые числа, причём , и , сводятся к решению квадратного уравнения (или уравнения более высокой степени) при помощи замены при .

Решите уравнение .

Решение.

А теперь перейдём к логарифмическим уравнениям. Напомним, что логарифмическим называется уравнение, содержащее переменные только под знаком логарифма.

Давайте рассмотрим основные виды логарифмических уравнений и методы их решения.

1. Логарифмические уравнения, решаемые по определению логарифма.

Уравнение вида при , и равносильно уравнению .

Решите уравнение .

Решение.

2. Уравнения первой степени относительно логарифма, решаемые потенцированием.

Уравнения вида при и равносильны каждой из следующих систем:

или

При решении таких уравнений переходят только к одной из указанных систем (более простой) либо к уравнению , корни которого проверяют подстановкой в исходное уравнение, так как они могут быть посторонними для него.