Сегодня на уроке мы узнаем, что называют криволинейной трапецией. Выясним, как можно вычислить площадь криволинейной трапеции. Узнаем, что называют интегралом от функции на отрезке .
Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним, что операцию нахождения первообразной для данной функции называют интегрированием, что в переводе с латинского означает «восстанавливать».
А сейчас рассмотрим фигуру, которая ограничена снизу отрезком оси . Сверху ограничена графиком непрерывной функции такой, что при и при . С боков фигура ограничена отрезками прямых и . Эту фигуру называют криволинейной трапецией.
Отрезок называют основанием этой криволинейной трапеции.
Выясним, как можно вычислить площадь этой фигуры с помощью первообразной функции .
Итак, пусть – площадь криволинейной трапеции, основанием которой является отрезок , где – любая точка отрезка .
При отрезок вырождается в точку, поэтому .
При имеем . – площадь криволинейной трапеции.
Покажем, что является первообразной функции , то есть .
Рассмотрим , где .
Отметим, что случай, когда , рассматривается аналогично.
Эта разность равна площади криволинейной трапеции, основанием которой является отрезок .
Справедливо следующее утверждение: найдётся точка такая, что указанная площадь равна площади прямоугольника с основанием и высотой , то есть справедливо равенство .
Отметим, что строгое доказательство данного утверждения рассматривается в курсе высшей математики.
Пусть , тогда и , так как – непрерывная функция.
, при . То есть .
Таким образом, мы показали, что является первообразной функции .
Любая другая первообразная функции отличается от на постоянную, то есть .
При из этого равенства получаем . Так как , то . Тогда равенство можно записать так: .
Отсюда получаем .
Итак, площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле , где – любая первообразная функции .
Получается, что вычисление площади криволинейной трапеции сводится к отысканию первообразной функции , то есть к интегрированию функции .
Разность называют интегралом от функции на отрезке и обозначают . Читается: «Интеграл от А до БЭ ЭФ от икс ДЭ икс», то есть можно записать формулу .
Эту формулу называют формулой Ньютона – Лейбница в честь создателей дифференциального и интегрального исчисления: Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница.
Обратите внимание, что правую часть формулы часто записывают вот таким образом: . В таком случае формула примет вид .
Числа и называют соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. Функцию называют подынтегральной функцией. Переменную называют переменной интегрирования.
Далее из двух формул мы получаем, что .
Давайте с вами вычислим площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью и прямыми и .
Приведённые формулы также справедливы в случаях, когда функция положительна внутри отрезка , а на одном из концов отрезка или на обоих концах равна нулю.
Найдём площадь криволинейной трапеции, изображённой на рисунке.
Вообще, исторически интеграл возник в связи с вычислением площадей фигур, которые ограничены кривыми, в частности с вычислением площади криволинейной трапеции. Этому будет посвящено одно из наших следующих занятий.
Давайте рассмотрим рисунок. Здесь изображена криволинейная трапеция, ограниченная прямыми , , осью и графиком функции . Основание этой криволинейной трапеции – отрезок .
Разобьём его на отрезков точками , , , …, . При этом обратите внимание, что эти отрезки не обязательно должны быть равными. Через эти точки проведём вертикальные прямые.
Теперь на каждом отрезке , где , выберем точку и обозначим .
Тогда площадь прямоугольника с основанием и равна .
А вот площадь рассматриваемой криволинейной трапеции приближённо равна сумме площадей построенных прямоугольников:
. Эту сумму называют интегральной суммой функции на отрезке .
Мы можем увеличивать число точек разбиения отрезка так, чтобы наибольшая из длин отрезков стремилась к нулю.
В курсе высшей математики доказывается, что для любой непрерывной функции (не обязательно неотрицательной) на отрезке интегральные суммы стремятся к некоторому числу, то есть имеют предел, не зависящий от выбора точек . Этот предел называют интегралом (определённым интегралом) от функции на отрезке и обозначают .
А теперь давайте выполним задание. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми , , осью и графиком функции :
) , , ; б) , , .
Решение.