Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

Ранее с вами научились преобразовывать рациональные выражения. Тождественные преобразования, которые умеем выполнять: это приведение подобных слагаемых; раскрытие скобок; разложение на множители; приведение рациональных дробей к общему знаменателю. Также для преобразования рациональных выражений используют формулы сокращённого умножения.

Теперь же мы ввели новую операцию – операцию извлечения квадратного корня. Вы уже знаете, что арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Используя эти формулы,  можно выполнять различные преобразования выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Давайте рассмотрим примеры преобразований выражений, которые содержат квадратные корни.

Задание: упростите выражение.

Задание: преобразуйте выражения.

Задание: сократите дробь.

Очень важное место в преобразовании выражений, содержащих квадратные корни, занимает избавление от иррациональности в знаменателе или числителе дроби. Можно рассмотреть это на простом примере.

Например: преобразуем дробь так, чтобы знаменатель не содержал квадратного корня.

Как сделать так, чтобы знаменатель дроби не содержал квадратный корень? Следует вспомнить основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же  число, не равное нулю, то значение дроби не изменится

Обратите внимание, дробь  мы заменили тождественно равной ей дробью . Причем, в знаменателе второй дроби нет знака корня. В таких случаях говорят, что мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби.

Задание: освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.