Задача: ширина прямоугольника на 10 см меньше длины, а его площадь равна 39 см2. Определить длину прямоугольника?
Составим уравнение:
Пусть 𝑥 см – длина прямоугольника. Тогда (𝑥−10) см – ширина прямоугольника. Известно, что – площадь прямоугольника. Составим уравнение:
При решении данной задачи, мы столкнулись с вами с уравнением .
Его называют квадратным уравнением. Обратите внимание, наибольшая степень переменной х в этом уравнении – квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.
Определение: квадратным уравнением называется уравнение вида , где – переменная, , и – некоторые числа, причём .
Например уравнения:
Каждое из этих уравнений является квадратным, т.к. каждое из них имеет вид: .
Нужно отметить ещё, что квадратное уравнение называют и уравнением второй степени, т.к. его левая часть есть многочлен второй степени.
Если 𝒂=𝟎, то . В квадратном уравнении коэффициент .
В определении сказано, что а не равно нулю. Почему так? Если а равно нулю, то мы получим обычное линейное уравнение. Поэтому коэффициент а в квадратном уравнении должен всегда присутствовать.
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при равен 1, называют приведённым квадратным уравнением.
Например: приведёнными квадратными уравнениями будут:
Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов или равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.
Например: неполными квадратными уравнениями будут:
Вообще неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
Рассмотрим, как решают уравнения каждого вида.
Пример 1: решить уравнения.
Вывод: для решения неполного квадратного уравнения вида: , где , надо:
1. Перенести свободный член в правую часть.
2. Разделить обе части уравнения на коэффициент .
Т.к. , то и .
Если выражение , то уравнение имеет два корня: и .
Если выражение , то уравнение не имеет корней.
Пример 2: решить уравнения.
Вывод: для решения неполного уравнения вида: , где , надо:
1. Разложить его левую часть на множители.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
или
2. Решить уравнение
Следовательно, корнями уравнения , где , будут: и .
Пример 3: решить уравнение.
Вывод: неполное уравнение вида равносильно уравнению и поэтому имеет единственный корень .
Итоги:
Квадратным уравнением называется уравнение вида , где – переменная, , и – некоторые числа, причём .
Числа , и – коэффициенты квадратного уравнения.
Число называют первым коэффициентом, число – вторым коэффициентом и число – свободным членом.
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при равен 1, называют приведённым квадратным уравнением.
Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов или равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1. ах2 + с = 0,
2. ах2 + bх = 0,
3. ах2 = 0.
Причём уравнения 1-ого вида имеют два корня, если выражение и не имеют корней, если . Уравнения второго вида имеют корни число 0 и а. А уравнение 3-его вида имеет единственный корень число 0.