Сегодня на уроке мы вспомним, какие задачи называют комбинаторными. Повторим правило произведения. Рассмотрим некоторые комбинаторные задачи.
В науке и на практике часто встречаются задачи, решая которые, возникает необходимость составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число этих комбинаций. Такие задачи называют комбинаторными задачами. В курсе алгебры основной школы вами решались элементарные комбинаторные задачи.
Раздел математики, в котором рассматривается решение комбинаторных задач, называют комбинаторикой. Слово «комбинаторика» в переводе с латинского означает «соединять, сочетать».
Итак, комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
Также было сформулировано правило произведения, которое в некоторых случаях упрощает подсчёт числа соединений определённого вида. Давайте напомним его.
Если существует вариантов выбора первого элемента и для каждого из них имеется вариантов выбора второго элемента, то всего существует различных пар с выбранными таким образом первым и вторым элементами.
Рассмотрим пример. Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр , , , , ?
В качестве первой цифры двузначного числа может быть выбрана любая из цифр , , , . Нуль не может быть в начале числа. То есть .
А вот в качестве второй цифры двузначного числа может быть выбрана любая из пяти заданных цифр, то есть .
Тогда по правилу произведения число всевозможных двузначных чисел, составленных с помощью предложенных цифр, равно , то есть равно .
Теперь давайте выясним, сколько различных трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр , , , , ?
При решении предыдущей задачи мы выяснили, что с помощью этих цифр можно записать различных двузначных чисел. Приписав к каждому из этих чисел любую из имеющихся пяти цифр, мы получим различные трёхзначные числа.
Таким образом, по правилу произведения существует , то есть различных трёхзначных чисел, записанных с помощью данных пяти цифр.
Получается, что для решения этой задачи правило произведения использовалось два раза. Первую цифру трёхзначного числа можно было выбрать четырьмя способами (). Вторую цифру можно было присоединить к ней пятью способами (). Затем третью цифру к каждому получившемуся двузначному числу можно было присоединить также пятью способами ().
Таким образом, всего трёхзначных чисел с помощью данных цифр можно образовать , то есть способами.
Следовательно, сформулированное выше правило произведения может быть применено неоднократно для подсчёта числа соединений из трёх, четырёх, пяти и так далее элементов, которые выбираются из определённых множеств с конечным числом элементов.
Давайте выполним несколько заданий.
Задание первое. Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя цифры , , и ?
Решение.
Задание второе. Сколько различных трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр , , и ?
Решение.
Задание третье. Сколько различных трёхзначных чисел, не имеющих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр , , и ?
Решение.
Задание четвёртое. Сколько различных четырёхбуквенных слов можно записать с помощью букв «м» и «а»? Отметим, что словом в комбинаторике называют любую последовательность букв.
Решение.
Задание пятое. В школьной олимпиаде по математике победителями оказались 3 человека, в олимпиаде по физике – 2 человека, в олимпиаде по русскому языку – 4 человека. На районные олимпиады по математике, физике и русскому языку школа должна направить по одному учащемуся из числа победителей школьных туров по трём предметам. Сколькими способами можно это сделать?
Решение.