Вспомним основные моменты. Пусть – произвольная точка, которая лежит в некоторой окрестности фиксированной точки . Разность называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке и обозначается .
Таким образом, . Тогда .
Говорят, что первоначальное значение аргумента получило приращение .
При этом, если мы изменяем аргумент, то и значение функции тоже будет изменяться на величину:
.
Приращением функции в точке , соответствующим приращению , называется разность и обозначается дельта .
Напомним, что производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при .
Если функция имеет производную в точке , то данная функция называется дифференцируемой в этой точке.
Если функция имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что эта функция дифференцируема на этом промежутке.
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с координатами , то есть , где – угол между касательной и осью .
Уравнение касательной к графику функции , дифференцируемой в точке , имеет вид:
.
Физический смысл производной. Если точка движется вдоль оси и её координата изменяется по закону , то мгновенная скорость точки , а ускорение .
Напомним правила нахождения производной. Если функции и имеют производные, то:
;
;
;
, .
Также вспомним, как находить производную сложной функции. Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция также имеет производную в точке , причём
.
На следующем слайде приведены производные основных элементарных функций.
Мы с вами повторили основные моменты, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.
Задание первое. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .
Решение.
Задание второе. Чему равен угловой коэффициент касательной к графику в точке с абсциссой ?
Решение.
Задание третье. Точка движется вдоль оси , и её координата изменяется по закону . Найдите скорость точки в момент времени .
Решение.
Задание четвёртое. Найдите производные функций:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Решение.
Задание пятое. Найдите производные функций:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Решение.