Решение дробных рациональных уравнений

Для начала давайте вспомним определения целых, дробных и рациональных выражений.

Итак, целые выражения – это выражения, составленные из чисел и переменных, содержащие действия сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля.

Например:

В отличие от целых выражений, дробные выражения помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными.

Например:

Целые и дробные выражения называют рациональными. Вообще, рациональными выражениями называют выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков арифметических действий.

До этого мы могли решить не любое рациональное уравнение, а только такое, которое в результате различных преобразований сводилось к линейному уравнению. Теперь же наши возможности стали гораздо шире: мы можем решить рациональное уравнение, которое сводится и к квадратному уравнению.

Давайте рассмотрим уравнения:

Заметим, что во всех этих уравнениях левая и правая части являются рациональными выражениями. Такие уравнения называют рациональными уравнениями.

Рациональное уравнение, в котором и левая и правая части являются целыми выражениями, называют целым.

Рациональное уравнение, в котором левая или правая часть является дробным выражением, называют дробным.

Возвращаясь к нашим уравнениям, видим, что первое уравнение является целым, а второе и третье – дробными рациональными.

Пример 1. Решить уравнение.

Пример 2. Решить уравнение.

Если среди найденных корней окажется такое число, при котором знаменатель дроби обращается в нуль, то такое число корнем уравнения быть не может, его называют посторонним корнем и в ответ не включают.

Пример 3. Решить уравнение.

Запишем алгоритм решения дробно рациональных уравнений. Чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо:

1)    Разложить все знаменатели дробей, входящих в уравнение, на множители.

2)    Найти общий знаменатель этих дробей.

3)    Умножить все слагаемые данного уравнения на общий знаменатель.

4)    Решить получившееся целое уравнение.

5)    Из найденных корней исключить те, которые обращают в нуль общий знаменатель данного уравнения.

Задание 1: при каких значениях х равны значения выражений?

Задание 2: найти значение переменной х, при котором сумма дробей равна их произведению.

Итоги:

Уравнения, в которых в левой и правой частях записаны рациональные выражения, называют рациональными уравнениями.

Рациональное уравнение, в котором и левая и правая части являются целыми выражениями, называют целым.

Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называют дробным.

Чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо:

1.     Разложить все знаменатели дробей, входящих в уравнение, на множители.

2.     Найти общий знаменатель этих дробей.

3.     Умножить все слагаемые данного уравнения на общий знаменатель.

4.     Решить получившееся целое уравнение.

Из найденных корней исключить те, которые обращают в нуль общий знаменатель данного уравнения.