Задачи на клетчатой бумаге

Скорее всего, многие из вас задумывались, почему тетрадь по математике – в клеточку. Наверное, чтобы удобнее было записывать в столбик числа, чтобы легче было чертить. Также клеточки на бумаге позволяют нарисовать, или, как принято говорить, построить различные геометрические фигуры только с помощью обычной линейки и карандаша. При этом на линейке может даже не быть делений.

Построим прямоугольник. Его длина равна 5 клеточкам, а ширина – 3 клеточкам.

Можно построить квадрат. Например такой, сторона которого будет равна 4 клеточкам. А ведь мы знаем, что у квадрата все стороны равны.

Бывают случаи, когда нам надо нарисовать окружность. Для этого мы можем воспользоваться циркулем.

Напомним, что циркуль – это специальный инструмент для черчения окружностей. Чтобы окружность получилась ровной и правильной, иголочка циркуля должна находиться в одной точке, и ножки должны быть постоянно на одном и том же расстоянии друг от друга.

Точка от иголочки – это центр окружности. Отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на этой окружности, называется радиусом.

Радиусы одной окружности равны между собой.

Но иногда бывают случаи, когда надо нарисовать окружность, а циркуля нет. Можно, конечно, попробовать нарисовать окружность от руки. Скорее всего, получится какой-то овал, отдалённо напоминающий окружность. Или просто замкнутая кривая. Конечно вы можете потренироваться это делать.

Так, великий немецкий художник Альбрехт Дюрер одним движением руки мог настолько точно нарисовать окружность, что даже проверка при помощи циркуля не показывала никаких отклонений.

Если же большая точность не требуется, и у вас есть бумага в клетку, то можно воспользоваться вот таким правилом…

Сразу отметим, что окружность, построенная по этому правилу, получается определённого размера.

Итак, начнём построение.

На пересечении линий клетчатой бумаги поставим точку. Посмотрите на правило. Первая его часть – «3 – 1». Это означает, что от точки отступим 3 клетки вправо и 1 клетку вниз. Поставим другую точку.

Смотрим дальше – «1 – 1». Отступим от второй точки по 1 клетке вправо и вниз, поставим третью точку.

А следующий фрагмент записи – «3 – 1». Отступим 1 клетку вправо и 3 клетки вниз, поставим четвёртую точку. Теперь, соединив плавной линией полученные точки, мы получим одну четвёртую часть окружности.

Оставшуюся часть окружности можно дорисовать по такому же правилу. Только порядок действий изменится в противоположном направлении.

Итак, отступим на 3 клетки вниз и на 1 клетку влево. Поставим точку.

Затем отступим по 1 клетке вниз и влево. Поставим точку.

Далее, отступив 1 клетку вниз и 3 клетки влево, поставим ещё одну точку

Соединим плавной линией полученные точки. Теперь получилась половина окружности.

По такому же правилу можно дорисовать третью четверть окружности. Только теперь движение будет не вниз, а вверх. И четвёртую.

При этом помним, что каждый раз должны менять направление движения.

Выше было сказано, что по такому правилу можно построить окружность определённого размера. Радиус такой окружности равен 5 клеткам.

Для построения окружностей других радиусов таким способом существуют другие правила.

А ещё клетчатая бумага даёт нам возможность представить, как можно замостить плоскость равными квадратами. Например, уложить квадратную кафельную плитку на пол или на стены.

Плоскость можно замостить не только квадратами, но и прямоугольниками.

Вы можете попробовать придумать способы укладки паркета из равных прямоугольников.

Давайте выполним задание. Можно ли замостить плоскость прямоугольника (или какую-либо площадь) фигурами, изображёнными на рисунке?

Решение.

Далее мы решим несколько задач на разрезание. Задачи на разрезание увлекательны тем, что универсального метода их решения нет. Каждый, кто берётся за их решение, должен проявить свою смекалку и творческое мышление.

«Семь раз отмерь, один раз отрежь!» Эта пословица предостерегает вас от спешки при решении задач на разрезание.

Итак, задание. На рисунке изображён квадрат со стороной в 4 клетки. Разделите квадрат на 2 равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток.

Способы разрезания квадрата на две части будем считать различными, если части квадрата, которые получены при одном способе разрезания, не равны частям, которые получены при другом способе. Сколько всего решений имеет задача?

Решение. Квадрат, который изображён на рисунке, содержит 16 клеток. Значит, при делении его на 2 равные части каждая из частей будет состоять из 8 клеток.

Отметим, что задача на разрезание на 2 или несколько одинаковых частей решена верно, если эти части будут одинаковыми по форме, то есть их можно наложить одна на другую так, что они совпадут (при этом разрешается наложить их наизнанку).

Выполним ещё одно задание. Разделите фигуры, изображённые на рисунке, на 2 равные части. Разрезать можно только по линиям клеток.

Решение.

Задачами на разрезание увлекались многие учёные с древнейших времён. Решения многих простых задач на разрезание были найдены ещё древними греками, китайцами, но первое научное сочинение на эту тему принадлежит перу Абул-Вефа, знаменитого персидского астронома десятого века, который жил в Багдаде.

Выполним следующее задание. Раскрасьте фигуру, изображённую на рисунке а, буквами Т такой формы, как на рисунке б. Все буквы Т должны отличаться друг от друга по цвету.

Обратите внимание, что при выполнении этого задания букву Т можно поворачивать как угодно.

Решение.

Ещё одно задание. Имеется лист клетчатой бумаги размером 10 на 10 клеток. Вырежьте из него как можно больше букв Т такой формы, как показано на рисунке.

Решение. Начнём вырезать фигуры в виде буквы Т из верхнего левого угла листа бумаги.