Исследование функций

Напомним применение производной к нахождению промежутков возрастания и убывания функций. Итак, если  в каждой точке  некоторого промежутка, то функция  возрастает на этом промежутке.

Если  в каждой точке  некоторого промежутка, то функция  убывает на этом промежутке.

Промежутки возрастания и убывания функции называются промежутками монотонности этой функции.

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции , надо:

1. найти ;

2. найти, в каких точках производная равна нулю (решить уравнение );

3. отметить нули производной на координатной прямой;

4. определить знаки значений  в полученных (между нулями) промежутках, т. е. найти промежутки знакопостоянства функции .

Выполним задание, в котором надо найти промежутки возрастания и промежутки убывания функции .

Решение.

Теперь вспомним, как находить точки экстремума функции. Отметим, что при исследовании поведения функции вблизи некоторой точки используется понятие окрестности. Напомним, что окрестностью точки  называется некоторый интервал, содержащий эту точку.

Например, интервал  – окрестность точки .

Точка  называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность точки , что для любого  из этой окрестности верно неравенство .

При этом говорят, что функция  имеет в точке  максимум. Значение функции в точке максимума называется максимумом функции.

Точка  называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность точки , что для любого  из этой окрестности верно неравенство .

При этом говорят, что функция  имеет в точке  минимум. Значение функции в точке минимума называется минимумом функции.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции. Значение функции в точке экстремума называется экстремумом функции.

Сформулируем необходимое условие экстремума функции. Если точка  является точкой экстремума функции  и в точке  существует производная, то .

Достаточное условие экстремума. Если  и при переходе через точку икс нулевое значения производной меняют знак с «» на «», то точка  является точкой максимума функции .

Если  и при переходе через точку икс нулевое значения производной меняют знак с «» на «», то точка  является точкой минимума функции .

Отметим, что если  и при переходе через точку  значения производной не меняют знак, то точка  не является точкой экстремума.

Выполним задание. Найдите точки экстремума функции , а также минимумы и максимумы.

Решение.

Исследуя свойства функции с применением производной, находят:

1. область определения функции;

2. производную функции, нули и промежутки знакопостоянства;

3) промежутки возрастания (убывания) функции, точки экстремума и значения функции в этих точках.

Задание. Исследуйте функцию  и постройте её график.

Решение.

Отметим, что для более точного построения графика функции можно найти координаты дополнительных точек графика.

И напомним, как находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Пусть функция  непрерывна на отрезке  и имеет несколько критических точек на этом отрезке. Тогда для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке  нужно:

1. найти значения функции на концах отрезка, т. е. и ;

2. найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат интервалу ;

3. из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Задание. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .

Решение.

Отметим, что наибольшее и наименьшее значения функции можно находить не только на отрезке, но и на интервале.

Решим задачу. Проволочной сеткой длиной  м надо огородить прямоугольный участок земли. Какие размеры должен иметь участок, чтобы его площадь была наибольшей?

Решение.