Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми

Определение:

Расстоянием между двумя точками А и В является длина отрезка АВ, соединяющего эти точки.

При этом следует отметить, что точки А и В можно соединить и таким образом:

Но именно кратчайший путь, то есть отрезок АВ, является расстоянием между данными точками.

Возьмём некоторую прямую b и точку А, которая не лежит на этой прямой. Опустим перпендикуляр из точки А к прямой b:

Полученный отрезок АН и будет называться расстоянием от точки А до прямой, так как это кратчайшее расстояние между данными точкой и прямой.

Действительно так. Отметим точку В на прямой b и рассмотрим прямоугольный треугольник АНВ:

АВ - гипотенуза, а АН - катет этого треугольника. Известно, что катет всегда меньше гипотенузы.

Отрезок АВ называется наклонной, проведённой из точки А к прямой b.

Перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.,

Определение:

Длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

Обозначают следующим образом:

Пусть а и b - параллельные прямые. Отметим на прямой а две точки А и В и опустим из них перпендикуляры АМ и BN на прямую b:

Если прямая a||b, а отрезки AM⊥b, BN⊥b, то АМ=BN и равняется расстоянию между параллельными прямыми а и b.

Проведём отрезок АN и рассмотрим полученные треугольники АBN и АМN:

Так как AM⊥b, а a||b, то AM⊥a. То есть ВN⊥b, а a||b, то и ВN⊥a.

Получили, что АBN и АМN - прямоугольные треугольники. У них сторона АN - общая, она является гипотенузой для обоих треугольников. Углы ВАN и АNМ равны, так как являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых АВ и MN и секущей АN.

Следовательно, получаем, что прямоугольные треугольники АBN и АМN равны по гипотенузе и острому углу. Из этого следует, что АМ=ВN.

Получили, что отрезки АМ и BN равны.

Расстоянием между параллельными прямыми является длина их общего перпендикуляра.

Обозначают следующим образом:

Верно и обратное утверждение:

Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от прямой и находящиеся на равном расстоянии от неё, лежат на прямой параллельной данной.

Пример.

На рисунке отрезок АВ=6 см, ∠В=30 градусов. Найти расстояние от точки А до прямой а.

Опустим из точки А к прямой а перпендикуляр АС, который и есть расстояние от точки А до прямой а:

Получили прямоугольный треугольник АВС. У которого ∠В=30 градусов, АВ=6см.

Известно, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Получаем:

Пример.

На рисунке расстояние между параллельными прямыми а и b равно 5 сантиметров, а расстояние между параллельными прямыми а и с равно 9 сантиметров. Чему равно расстояние между параллельными прямыми b и с?

Известно, что:

Из этого следует: