Меню
Видеоучебник

Треугольник

Урок 27. Подготовка к ЕГЭ по математике

В этом видеоуроке мы повторим основные сведения о треугольниках. Напомним, какими бывают треугольники. Вспомним признаки равенства и признаки подобия треугольников. Сформулируем теорему Пифагора. Напомним о соотношениях между сторонами прямоугольного треугольника. А также повторим теоремы синусов и косинусов.

Конспект урока "Треугольник"

Напомним, что треугольником называется фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх попарно соединяющих их отрезков. Сумма длин всех сторон треугольника называется периметром.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.

Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Любой треугольник имеет три медианы, три биссектрисы и три высоты. В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, биссектрисы пересекаются в одной точке, высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным.

Треугольник, у которого три стороны равны, называется равносторонним.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Также напомним, что в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Вспомним признаки равенства треугольников.

Первый признак. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Сумма углов треугольника равна .

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным. Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным.

Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Теорема. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Из теоремы следует, что для любых точек ,  и , не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:

,

,

.

Каждое из этих неравенств называется неравенством треугольника.

Вспомним свойства прямоугольных треугольников.

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна .

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в , равен половине гипотенузы.

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен .

Существует четыре признака равенства прямоугольных треугольников.

По двум катетам. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

По катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

По гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

По гипотенузе и катету. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Вспомним теорему Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ().

Два треугольника называются подобными, если их углы, соответственно, равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

,

, ,

.

Число , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.

Есть три признака подобия треугольников.

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум угла другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Также напомним, что средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Снова вернёмся к прямоугольному треугольнику и напомним, что синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

, , , .

Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу угла (). Котангенс угла равен отношению косинуса к синусу угла ().

Равенство  называют основным тригонометрическим тождеством.

И вспомним теорему синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

А также теорему косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Мы с вами повторили основные моменты, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задача первая. В равнобедренном треугольнике , где , периметр равен  см, а основание больше боковой стороны на  см. Найдите стороны треугольника.

Решение.

Задача вторая. Дан равносторонний треугольник . На стороне  взята такая точка , что сумма периметров треугольников  и  равна см. Найдите длину стороны треугольника , если  см.

Решение.

Задача третья. В прямоугольном треугольнике  угол при вершине  прямой, а градусная мера внешнего угла при вершине  равна . Вычислите длину гипотенузы треугольника, если  см.

Решение.

Задача четвёртая. На рисунке  см,  см,  см, . Найдите .

Решение.

Задача пятая. В равнобедренном треугольнике  боковые стороны  см,  см. Найдите высоту, проведённую к боковой стороне.

Решение.

Задача шестая. Длина стороны  треугольника  равна  см. Найдите длину стороны , если  и .

Решение.

Задача седьмая. В треугольнике  длина стороны  равна  см, сторона  равна  см, а угол между этими сторонами равен . Найдите периметр треугольника.

Решение.

886

Комментарии 0

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или на сайт

Вы смотрели