Размещения

Пример.

Пусть имеются 4 шара и 3 пустые ячейки. В каждую ячейку можно поместить только по 1 шару.

Для удобства обозначим шары буквами: A, B, C, D.

Если поместим шар А в первую ячейку, шар B - во вторую ячейку, а шар C - в третью, то мы получим одну из возможных упорядоченных троек шаров.

Выбирая по-разному шары для каждой из ячеек, получим, например, такие тройки:

Каждую такую упорядоченную тройку, составленную из четырёх элементов, называют размещением из 4 - х элементов по 3.

Определение:

Размещением из n элементов по k, где k≤n, называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.

Два размещения из n элементов по k считаются различными, если они различаются самими элементами или порядком их следования.

Обозначают:

Вернемся к примеру, вычислим количество таких размещений для данного случая, пользуясь правилом комбинаторного умножения:

Получим формулу для вычисления числа размещений из n элементов по k:

Для выбора первого элемента можно взять любой из n элементов, то есть существует n способов. Для выбора второго элемента можем взять любой из n-1 оставшихся элементов, то есть n-1 способов. Третий элемент можно выбрать n-2 способами. И так далее.

Так k - ый элемент можно выбрать n-(k-1) способами.

Число размещений из n элементов по k можно отыскать по такой формуле:

Преобразуем, умножим и разделим правую часть этого равенства:

Тогда формула числа размещений из n элементов по k примет такой вид:

Стоит обратить внимание на то, что размещения из n элементов по n отличаются только порядком следования элементов, так как каждый из них должен участвовать в размещении.

Тогда получаем, что такое размещение является перестановкой.

Пример.

1.                Вычислить число размещений из 5 элементов по 3.

Воспользовавшись формулой размещений, получим:

2.                Вычислим:

3.                Вычислим:

4.                Вычислить:

Пример.

Девять карточек пронумерованы цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из этих карточек 4 наугад выкладывают в ряд. Сколько при этом различных 4 - ых чисел можно получить?

Суть задачи состоит в том, что из 9 данных цифр нужно составить всевозможные 4 - ые числа, не повторяя цифры в числе.

Найдем число размещений:

Пример.

В классе 17 учеников, а на скамейке в парке помещается только 5 человек. Сколькими способами одноклассников можно усадить на скамейку в парке? Порядок рассадки имеет значение.

Найдем количество размещений:

Пример.

Сколько можно составить телефонных номеров, из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны? При этом на первом месте не могут быть цифры 0 и 1.

У нас есть 10 различных цифр. Из них можно составить   комбинаций телефонных номеров.

Но на первом месте не может быть цифра 0. Зафиксируем её на первом месте. В нашем распоряжении осталось 9 цифр и мы размещаем их на 5 позициях. Получаем, что количество номеров начинающихся на нуль -  . Количество номеров, начинающихся единицей -

Получим:

Можно составить 120960 телефонных номеров, состоящих из 6 цифр и не начинающихся 0 и 1.