Независимые события. Умножение вероятностей

Сегодня на уроке мы вспомним, что называют произведением событий. Напомним, что называют вероятностью события. Выясним, какие события называют независимыми.

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним, что произведением (пересечением) событий  и  называется событие, которое состоит в том, что происходят оба этих события. Произведение событий  и  обозначают  (или  ).

Сейчас вы видите рисунок, который иллюстрирует с помощью кругов Эйлера произведение событий  и . Закрашенная область (общая часть кругов  и ) иллюстрирует произведение событий , .

Например, опыт заключается в том, что из колоды вынимается наудачу одна карта. Пусть рассматриваются события:  – вынут король,  – вынута карта пиковой масти. Тогда событие  – из колоды вынут король пик.

Также напомним, что вероятностью  события  в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов , благоприятствующих событию , к числу  всех исходов испытания.

Вероятность события  определяется формулой .

, , .

А теперь перейдём к рассмотрению новой темы. Предположим, что игральный кубик бросается один раз и рассматриваются: событие  – выпадение чётного числа, событие  – выпадение чётного числа, кратного 3.

Очевидно, что между событиями  и  есть какая-то зависимость. Так, событию  благоприятствуют три исхода. Это выпадение числа 2, числа 4 и числа 6. Из этих трёх случаев событию  благоприятствует один. Выпадение числа 6.

Поэтому при наступлении события  вероятность события  равна .

Но при отсутствии информации о наступлении события  вероятность события  оценивается как равная . Так как , то очевидно, что наступление события  повышает шансы наступления события .

Однако существуют пары событий, для которых факт зависимости вероятности наступления одного из них от наступления другого не очевиден.

Сформулируем определение. События  и  называют независимыми, если выполняется равенство .

Если данное равенство не выполняется, то события  и  называют зависимыми.

Давайте рассмотрим опыт с бросанием двух игральных костей и исследуем два события:  – на первой кости выпало 3 очка,  Э – на второй кости выпало 3 очка. Выясним, будут ли события  и  независимыми.

Появление любого числа очков на первой кости (в частности, наступление события ) не влияет на событие  и на его вероятность. И наоборот, появление любого числа очков на второй кости (в частности, наступление события ) не влияет на событие  и на его вероятность.

, .

Выше мы с вами вспомнили, что называют произведением событий. Так, событие  состоит в совместном наступлении событий  и . Элементарные исходы испытания – это пары чисел, в которых на первом месте стоит число очков первой кости, на втором – число очков второй кости. Число всех возможных элементарных исходов испытания . Среди них присутствует только одна пара (3 и 3 очка), которая благоприятствует событию , то есть .

Таким образом, . Следовательно, события  и  независимые.

Наверняка можно говорить о независимости событий, если они появляются в независимых испытаниях, как, например, было в только что рассмотренном опыте с бросанием двух игральных костей. Также, например, при стрельбе по мишени несколькими стрелками независимо друг от друга вероятность поражения мишени каждым стрелком не зависит от вероятности поражения её другими стрелками.

Когда же независимость испытаний неочевидна, то независимость событий  и  рассматривается с помощью формулы.

А теперь давайте выполним несколько заданий.

Задание первое. Выясните, являются ли события  и  независимыми:

1)   ;

2)   

Решение.

Задание второе. Из чисел , , , …, ,  случайным образом выбирают одно число и рассматривают два события:  – выбрано чётное число,  – выбрано число, кратное 3. Выясните, являются ли события  и  независимыми.

Решение.

Задание третье. В изготовлении партии мячей вероятность бракованного мяча равна . Произвольным образом в красный цвет окрашены  всех мячей, а остальные мячи окрашены в зелёный. Какова вероятность того, что наугад вынутый мяч будет небракованным и красным?

Решение.

Задание четвёртое. Вероятность поражения цели первым орудием равна , а вторым – . Найдите вероятность поражения цели обоими орудиями, стрелявшими независимо друг от друга.

Решение.