Видеоучебник / Математика / Подготовка к ЕГЭ по математике / Окружность и круг. Вписанная и описанная окружности

Окружность и круг. Вписанная и описанная окружности

Урок 29. Подготовка к ЕГЭ по математике

В данном видеоуроке мы вспомним о таких геометрических фигурах, как окружность и круг. Поговорим о касательной к окружности, а также о центральных и вписанных углах. Вспомним теорему об отрезках пересекающихся хорд. Также поговорим о вписанных и описанных окружностях.

Конспект урока "Окружность и круг. Вписанная и описанная окружности"

Напомним, что окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки – центра окружности.

Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности.

Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Длина окружности вычисляется по формуле , где – радиус окружности.

Кругом называется геометрическая фигура, состоящая из окружности и части плоскости, ограниченной этой окружностью.

Окружность называется границей круга.

Центром, радиусом, хордой и диаметром круга называются центр, радиус, хорда и диаметр его границы.

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Прямая – касательная к окружности.

– точка касания.

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Центральным углом окружности называется угол с вершиной в центре этой окружности.

Дугой окружности называется каждая из частей, на которые делят окружность любые две её точки. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром окружности.

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего ей центрального угла.

Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна .

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, – прямой.

Вспомним теорему об отрезках пересекающихся хорд. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Теперь вспомним, что если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.

Круг называется вписанным в многоугольник, если его граница вписана в этот многоугольник.

Теорема. В любой треугольник можно вписать единственную окружность.

При этом в отличие от треугольника не в любой четырёхугольник можно вписать окружность.

В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. При этом справедливо и обратное утверждение: если в выпуклом четырёхугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.

Круг называется описанным около многоугольника, если его граница описана около этого многоугольника.

Теорема. Около любого треугольника можно описать единственную окружность.

В отличие от треугольника около четырёхугольника не всегда можно описать окружность.

В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна . Справедливо и обратное утверждение: если сумма противоположных углов четырёхугольника равна , то около него можно описать окружность.

Мы с вами повторили основные моменты, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задача первая. Через точку , находящуюся от центра окружности на расстоянии см, проведены две касательные, и , где и – точки касания. Вычислите площадь четырёхугольника , если см.

Решение.

Задача вторая. Радиус круга равен см. Точка лежит внутри круга на расстоянии см от его центра . Через точку проведена хорда , длина которой равна см. Вычислите длины отрезков, на которые точка делит хорду .