Теорема о вписанном угле

С прошлых уроков вы уже знакомы с понятиями дуга, полуокружность, центральный угол (это угол с вершиной в центре окружности). Вы уже знаете, что градусная мера дуги, не большей полуокружности, равна градусной мере центрального угла, который опирается на данную дугу.

Сегодня мы будем говорить о вписанном угле.

Это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

В данном случае изображён вписанный угол ABC, вершина B лежит на окружности. Дуга AC находиться внутри данного вписанного угла. Говорят, что угол ABC опирается на дугу AC.

Запишем теорему о вписанном угле.

Теорема 1. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство.

Рассмотрим три случая расположения луча BO относительно угла ABC.

Что и требовалось доказать.

Запишем следствия из данной теоремы.

Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружностьпрямой.

Задача. По данным рисунка найдите

Решение

Задача. Найдите величину .

Если известно, что хорды  и CD окружности пересекаются в точке ,

и градусная мера  равна , а — .

Решение.

Ответ: .

А сейчас запишем ещё одну теорему.

Теорема 2. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство.

Что и требовалось доказать.

Задача. Из двух пересекающихся хорд одна разделилась на части в 48 см и 3 см,

а другая — пополам. Найдите длину второй хорды.

Решение.

Ответ: .

Задача. Из точки, данной на окружности, проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найдите угол между ними.

Решение.

  (

Ответ: .

Задача. Найти острый угол между двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключённые между секущими,

равны  и .

Решение.

Ответ: .

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня мы познакомились с понятием вписанного угла. Научились находить его величину как половину градусной меры дуги, на которую он опирается.

Мы выяснили, что:

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

А вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.

А также сегодня вы узнали, что если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.