Сложение и вычитание десятичных дробей

– Так, полтора и ещё пол-литра.

– Саша, привет. Что ты считаешь?

– Да вот, мама сказала, что со вчерашнего дня начинает пить много воды.

За целый вчерашний день она выпила 1 полуторалитровую бутылку воды и ещё 1 пол-литровую. Вот мне и стало интересно посчитать, сколько же воды мама выпила за весь вчерашний день.

– И как, получается?

– Я решил, что поскольку складывать десятичные дроби ещё не умею, то надо перевести десятичные дроби в обыкновенные и сложить. Полтора литра – это . А пол-литра – это . Складывая , получим число 2. Значит, мама вчера за целый день выпила 2 литра воды. Вот интересно, а можно складывать десятичные дроби, не переводя их в обыкновенные?

– Я знаю, кто нам может ответить на этот вопрос Электроше. Пойдём к нему и всё разузнаем. Электроша, здравствуй. Мы снова к тебе с вопросом.

– Здравствуйте, мальчики. Задавайте свой вопрос.

– Мы хотим научиться складывать десятичные дроби, чтобы не переводить их в обыкновенные.

– Хорошо, ребята. Сейчас я вам всё расскажу. Только сначала давайте немного устно порешаем.

– Вернёмся к сложению десятичных дробей. Конечно, каждый раз не надо переводить десятичные дроби в обыкновенные. Можно складывать сразу десятичные дроби. Складываются они точно так же, как и натуральные числа. Сначала сформулируем правило, а потом рассмотрим его на примере.

Чтобы сложить две десятичные дроби, надо:

Первое. Уравнять в слагаемых количество цифр после запятой.

Второе. Записать слагаемые друг под другом так, чтобы каждый разряд второго слагаемого располагался под соответствующим разрядом первого слагаемого.

Третье. Сложить полученные числа так, как складывают натуральные числа.

И последнее. Поставить в полученной сумме запятую под запятыми в слагаемых.

Поясним это правило на примере.

Сложим дробь 136,528 с дробью 17,4.

Итак. Первый пункт правила: уравнять в слагаемых количество цифр после запятой.

– Паша, ты помнишь, как это можно сделать?

– Да, если к десятичной дроби справа приписать любое количество нулей, то получится дробь, равная данной. Значение дроби, которая оканчивается нулями, не изменится, если последние нули в её записи отбросить.

– Ты молодец. В нашем примере к какой дроби надо дописать нули и сколько? Саша, ты можешь сказать?

– Конечно.

К дроби 17,4 надо дописать 2 нуля. Получим 17,400. Запишем числа в столбик так, чтобы одинаковые разряды оказались друг под другом. Проведём линию и слева поставим знак «плюс». Начнём складывать поразрядно. Теперь нам остаётся только отделить целую часть от дробной. Получим, что сумма наших дробей равна 153,928.

– Так, конечно, намного проще складывать, чем переводить дроби в обыкновенные. Теперь я могу сложить полтора литра и пол-литра. Получу тот же ответ – 2 литра, только быстрее и проще.

– Молодец, Саша, ты всё правильно посчитал.

Выполните задание.

Найдите сумму чисел: . Паша, это задание для тебя.

Итак. Уравняем в слагаемых количество цифр после запятой. Для этого к первому слагаемому допишем ноль. Запишем эти числа столбиком. Найдём сумму. Поставим запятую, отделяя целую часть от дробной, и получим, что наша сумма равна 180,328.

У слагаемых второй суммы  количество цифр после запятой одинаковое. Запишем их в столбик, найдём сумму. Отделим целую часть от дробной запятой и получим, что вторая сумма равна 5,00. Отбрасываем нули и получаем просто 5.

Я правильно всё сделал, Электроша?

– Да, Паша, всё верно.

И посчитаем последнюю сумму . Получим 10,65.

– Молодец.

А помните ли вы свойства сложения, о которых мы говорили при сложении натуральных чисел?

– Да, ты нам рассказывал о переместительном и сочетательном свойствах сложения.

От перемены мест слагаемых сумма не меняется. Записывается переместительное свойство так .

А сочетательное свойство записывается так .

Эти же свойства выполняются и для сложения десятичных дробей.

Выполните задание.

Найдите сумму чисел:.

– Саша, решай ты.

Мы видим, что удобнее складывать не 4,7 и 2,9, а сначала удобнее сложить 5,3 и 4,7, а потом к сумме прибавить 2,9. Складывая 5,3 с 4,7, получим 10. Добавим 2,9 и получим, что сумма трёх слагаемых равна 12,9.

Второй пример мы будем решать тоже с использованием переместительного и сочетательного свойств сложения. Получим, что эта сумма равна 23,5.

– Молодец. Ты всё правильно решил.

Теперь давайте поговорим о вычитании десятичных дробей.

Для того, чтобы из одной десятичной дроби вычесть другую, надо:

Первое. Уравнять в уменьшаемом и вычитаемом количество цифр после запятой.

Второе. Записать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы каждый разряд вычитаемого оказался под соответствующим разрядом уменьшаемого.

Третье. Произвести вычитание так, как вычитают натуральные числа.

И последнее. Поставить в полученной разности запятую под запятыми в уменьшаемом и вычитаемом.

Давайте по этому правилу найдём разность дробей 148,15 и 13,169.

Выровняем количество цифр после запятой в обеих дробях. Для этого к уменьшаемому допишем 1 ноль.

Запишем в столбик уменьшаемое и вычитаемое. Найдём разность. Нам осталось только отделить запятой целую часть от дробной, и получим, что разность чисел равна 134,981.

– Вам всё понятно, ребята?

– Да, Электроша.

Тогда выполните вот такое задание.

Найдите разность: .

Паша, это задание для тебя.

У уменьшаемого и вычитаемого первой разности количество цифр в дробной части одинаково. Запишем их в столбик и найдём разность. Поставим запятую, чтобы отделить целую часть от дробной, и получим, что разность этих чисел равна 74,07.

Теперь найдём разность второй пары чисел. Получим 10,00. Отбросим два нуля и получим, что разность чисел равна 100.

Найдём разность третьей пары чисел. У уменьшаемого в дробной части меньше цифр. Для того, чтобы было одинаково, допишем к уменьшаемому один ноль. Осталось найти разность, поставить запятую, и получим 6,02.

– Молодец, ты всё правильно решил.

Вот для вас ещё одно задание.

Найдите значение выражения .

– Саша, приступай.

Найдём разность . Получим 98,345. Теперь к этому числу добавим  и получим 100,385. Остаётся отнять от этого числа . Тогда значение всего нашего выражения будет равно 95,380.

– Молодец, ты всё правильно сделал.

И последнее на сегодня задание.

Решите уравнение .

– Паша, попробуй решить.

Перед нами разность, в которой неизвестно уменьшаемое. Для того, чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое. Получим, что . Теперь перед нами сумма, в которой неизвестно одно из слагаемых. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известное слагаемое.

Получим, что . Или .

– Молодцы, ребята.