Видеоучебник / Алгебра / 10 класс / Алгебра 10 класс ФГОС / Арифметический корень натуральной степени

Арифметический корень натуральной степени

Урок 4. Алгебра 10 класс ФГОС

Из этого видеоурока мы узнаем, что подразумевают под понятием «арифметический корень натуральной степени». Познакомимся с корнем нечётной степени из отрицательного числа. А также рассмотрим некоторые свойства арифметического корня n-й степени.

Конспект урока "Арифметический корень натуральной степени"

С понятием квадратного корня из числа а вы уже знакомы: это такое число, квадрат которого равен а.

,
,
,

Аналогично определяется корень -й степени из числа а, где– произвольное натуральное число.

А теперь давайте решим такое уравнение:

Итак, это уравнение мы можем переписать в таком виде: . Или .

Тогда наше уравнение равносильно совокупности уравнений: .

Понятно, что уравнение не имеет решения на множестве действительных чисел. Значит, остаётся решить уравнение

Итак, наше уравнение имеет два действительных корня 5 и –5. Их называют корнями четвёртой степени из числа 625. В свою очередь, положительный корень (число 5) называют арифметическим корнем четвёртой степени из числа 625. Обозначают его так: . Таким образом, .

Запомните! Арифметическим корнем натуральной степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, -я степень которого равна а.

Арифметический корень -ой степени из числа а обозначают так: . Символ называют знаком арифметического квадратного корня или радикалом (от латинского слова «радикс» – корень), число называется показателем корня, а число а, стоящее под знаком корня, – подкоренным выражением.

Вам хорошо известен такой частный случай арифметического корня -й степени, как корень второй степени, или квадратный корень из числа, то есть когда

В этом случае показатель корня не пишут, а пишут просто.

Ещё одним частным случаем является мы привыкли называть его корнем кубическим.

Как правило, когда ясно, что речь идёт об арифметическом корне -й степени, слово «арифметический» не произносят, а говорят кратко: «корень энной степени».

Действие, посредством которого отыскивается корень -й степени, называется извлечением корня -й степени. Это действие является обратным действию возведения в -й степень.

Равенство при верно, когда выполняются два условия:; второе —.

Например,.

Число;

Видим, что оба условия выполняются. Значит верно.

Из определения арифметического корня следует, что если, то.

Например,

А теперь давайте решим следующие уравнения: и . Итак, первое уравнение

Перепишем это уравнение в виде: .

Преобразуем наше уравнение, применяя формулу разности кубов. Имеем:

Перейдём к уравнению 2:

Перепишем это уравнение в виде: .

Преобразуем наше уравнение, применяя формулу разности кубов. Имеем:.

Так как , то число –4 является корнем из числа –64. Однако это число не является арифметическим корнем по определению. Число называют корнем кубическим из числа и обозначают так:

Вообще, для любого нечётного натурального числа, уравнение, при имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень обозначается, как и арифметический корень, символом.

И называют его корнем нечётной степени из отрицательного числа.

Запомните! При нечётном существует, и притом только один. Для корней нечётной степени справедливо равенство

Например,

Корень нечётной степени из отрицательного числа а связан с арифметическим корнем из числа следующим равенством:

Например,

Арифметический корень -й степени обладает несколькими свойствами. Перечислим их. Итак, при условии, что, , а, и – натуральные числа, причём, , справедливы равенства: