Проценты и пропорции

Напомним, что частное двух чисел называется отношением этих чисел. Равенство двух отношений называется пропорцией.

 или , где  и .

Числа  и  называют крайними членами пропорции, числа  и  – средними членами пропорции.

Вспомним свойства пропорции.

1. Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних:

 если , то .

2. В пропорции, все члены которой не равны нулю, можно менять местами средние и крайние члены, то есть если верна пропорция , то верными будут и пропорции:

, , .

3. Если произведение чисел  и  равно произведению чисел  и , причём , , , , то из этих чисел можно составить пропорцию:

 .

Переменная  называется прямо пропорциональной переменной , если , где  – постоянная и .

Зависимость, выраженная формулой , где , называется прямой пропорциональностью, а  – коэффициентом пропорциональности.

Прямая пропорциональность переменных означает, что их отношение постоянно, то есть зависимость между ними при  выражена формулой:

 .

Пусть переменные  и  прямо пропорциональны и пусть значениям  и  соответствуют значения  и .

Тогда, если , для них верно равенство .

Переменная  называется обратно пропорциональной переменной , если , где  – постоянная и .

Зависимость, выраженная формулой , где , называется обратной пропорциональностью, а постоянная  – коэффициентом обратной пропорциональности.

Обратная пропорциональность переменных  и  означает, что их произведение постоянно и не равно нулю, то есть зависимость между ними выражена формулой:

.

Пусть переменные  и  обратно пропорциональные и пусть для значений  и  соответствующие значения равны  и .

Тогда для них верно равенство и, или .

Также напомним, что процентом числа  называется его сотая часть. Следовательно, само число составляет .

При решении задач на проценты некоторая величина  принимается за , а её часть – величина  – принимается за  и составляется пропорция:

.

Из этой пропорции определяют величину  по правилу нахождения неизвестного члена пропорции:

.

Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задание первое. Найдите  из пропорции .

Решение.

Задание второе. Разделите число 286 на части прямо пропорционально числам 2, 3, 8.

Решение.

Задание третье. Разделите число 286 на части обратно пропорционально числам 1, 2 и 3.

Решение.

Задание четвёртое. Виноград содержит  воды, а полученный из него изюм содержит  воды. Сколько изюма получится из  кг винограда?

Решение.

Задание пятое. В парке 72 дерева – берёзы и клёны. Берёзы составляют  всех деревьев. Сколько берёз надо ещё посадить в парке, чтобы они составляли  всех деревьев?

Решение.

Задание шестое. Завод выпускал 852 изделия в месяц. В результате технического перевооружения он стал выпускать 1136 изделий в месяц. На сколько процентов увеличилась производительность завода?

Решение.

Задание седьмое. В результате увеличения производительности труда на  завод стал выпускать 920 изделий в месяц. Сколько изделий в месяц выпускал завод ранее?

Решение.

Задание восьмое. Завод выпускает 500 изделий в год. На сколько изделий в год увеличится выпуск продукции, если производительность труда увеличится на ?

Решение.

Задание девятое. Цену товара сначала повысили на , а затем понизили на столько же процентов. На сколько процентов уменьшилась первоначальная цена?

Решение.