Напомним, что степенью с натуральным показателем называется произведение
где – основание степени (), – показатель степени ().
Возвести в -ю степень – это значит найти значение выражения .
При имеем .
Степень с нулевым показателем: , если , то есть любое число (кроме ) в нулевой степени равно .
Выражение не имеет смысла.
Степенью с отрицательным целым показателем называется число , где , и .
При возведении отрицательного числа в нечётную степень получится отрицательное число, а при возведении отрицательного числа в чётную степень получится положительное число.
Для любых действительных чисел и , отличных от , и для любых целых показателей и имеют место следующие пять основных свойств степеней:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
Используя степени с целыми показателями, любое положительное число у можно записать в виде произведения , где и – целое число. Такая запись называется стандартным видом числа , а число – порядком числа .
Также напомним, что корнем -й степени () из действительного числа называют такое действительное число , -я степень которого равна , то есть .
Арифметическим корнем -й степени () из числа называется неотрицательное число, -я степень которого равна . Обозначают арифметический корень с помощью знака радикала: .
Под выражением условимся понимать:
1. единственное значение корня в случае нечётного ;
2. арифметический корень в случае чётного ;
3. , если , при любом .
Заметим, что при нечётном , но при чётном .
Так, например, ,.
То есть , где
Действие, посредством которого отыскивается корень -й й степени, называется извлечением корня -й степени. Это действие является обратным действию возведения в -ю степень.
А теперь давайте вспомним свойства арифметического корня -й степени. Итак, при условии, что , , а , и – натуральные числа, причём , , справедливы равенства:
1. . (число может также быть равным )
2. .
3. . (число может быть любым целым, если )
4. .
5. .
Также следует вспомнить формулу сложного радикала:
.
И ещё напомним, что степенью с рациональным показателем называется число , где , , , , .
Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.
Задание первое. Найдите значения выражений:
а) при ;
б) при .
Решение.
Задание второе. Вычислите .
Решение.
Задание третье. Упростите выражение .
Решение.