Преобразование рациональных выражений

Любое числовое выражение после выполнения всех входящих в его состав арифметических действий принимает конкретное числовое значение. Точно также состоит дело и с рациональными выражениями. Любое рациональное выражение после выполнения преобразований принимает вид рациональной дроби. Для этого рациональные выражения предварительно преобразуют или упрощают.

Числовое выражение:

Рациональное выражение:

Преобразование рациональных выражений – это применение тождественных преобразований, с целью упростить запись выражения (сделать его короче и удобнее для дальнейших вычислений).

Напомню тождественные преобразования, которые мы уже умеем выполнять:

- приведение подобных слагаемых;

- раскрытие скобок;

- разложение на множители;

- приведение рациональных дробей к общему знаменателю.

Для преобразования рациональных выражений принимают тот же порядок выполнения действий, что и при преобразовании числовых выражений. Т.е. первыми выполняют действия в скобках, вторыми – действия второй ступени (это умножение, деление, возведение в степень), а затем уже действия первой ступени (сложение, вычитание).

Ещё для преобразования рациональных выражений необходимы знания формул сокращённого умножения и тождества, которые доказали на прошлых уроках:

Задание 1: преобразуйте выражение в рациональную дробь .

Решение:

Задание 2: упростите выражение .

Решение:

Задание 3: доказать тождество .

Решение: доказать тождество – это значит установить, что при всех допустимых значениях переменных его левая и правая части равны. Есть несколько способов доказательства тождеств:

1)    Можно преобразовать левую часть и в итоге получить правую.

2)    Можно преобразовать правую часть и в итоге получить левую.

3)    Можно по отдельности преобразовать правую и левую части и в итоге получить и в первом и во втором случае одно и то же выражение.

4)    Можно составить разность левой и правой частей и в результате её преобразований должны получить нуль.

Какой способ выбрать зависит от конкретного тождества, которое требуется доказать.

Итоги:

Преобразование рациональных выражений – это применение тождественных преобразований, с целью упростить запись выражения.

Есть несколько способов доказательства тождеств:

1)    Можно преобразовать левую часть и в итоге получить правую.

2)    Можно преобразовать правую часть и в итоге получить левую.

3)    Можно по отдельности преобразовать правую и левую части и в итоге получить и в первом и во втором случае одно и то же выражение.

4)  Можно составить разность левой и правой частей и в результате её преобразований должны получить нуль.