Уравнение и его корни

Вопросы занятия:

·  ввести понятия «уравнение с одной переменной», «решение уравнений с одной переменной»;

·  разобрать что значит «решить уравнение»;

· ввести понятие равносильных уравнений.

Материал урока

Рассмотрим следующую задачу.

К заданному числу прибавили 9 и получили в сумме 25. Какое число задумано?

Обозначим букой х задуманное число. Тогда по условию задачи

х + 9 = 25

То есть, чтобы найти неизвестное число, мы составили равенство, которое содержит переменную х. Равенства такого вида называются уравнениями с одной переменной.

Теперь надо найти такое значение переменной х, при подстановке которого в наше уравнение получается верное числовое равенство. Для этого переносим 9 в правую часть равенства и получаем:

х = 25 – 9.

х = 16

 То есть 16 и есть задуманное число.

Найденное значение переменной х называется решением уравнения, или корнем уравнения.

Таким образом, можем сформулировать следующие определения.

Равенство, содержащее одну переменную, называется уравнением с одной переменной, или уравнением с одним неизвестным.

Значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство, называется корнем (или решением) уравнения.

Рассмотренное выше уравнение имеет один корень.

Но есть уравнения, которые имеют два, три, четыре и более корней или не имеют корней вообще.

Например,

Определение.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Определение.

Два уравнения называются равносильными, если каждый корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот – каждый корень второго уравнения является корнем первого, то есть, оба уравнения имеют одни и те же корни.

Равносильными являются также уравнения, которые не имеют корней.

Например,

А теперь сформулируем свойства, которые используются при решении уравнений.

Свойство 1.

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Например,

Свойство 2.

Также, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнения, равносильное исходному.

Например,

Давайте решим следующие упражнения.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.