Функция y=k/x и ее график

Давайте рассмотрим пример:

Пусть расстояние в 200 км автомобиль со скоростью равной v км/ч преодолеет за время равное t часов. Тогда используя формулу пути, зависимость времени от скорости движения автомобиля при равном расстоянии можно выразить формулой:

Напомню, что такую зависимость называют обратно пропорциональной. Т.к. при увеличении одной величины вторая величина будет уменьшаться.

Вот, например, если автомобиль будет ехать со скоростью 50 км/ч, то на преодоление расстояния в 200 км ему понадобится 4 часа.

А вот, если автомобиль будет ехать со скоростью 100 км/ч, то на преодоление этого же пути, ему понадобится всего лишь 2 часа. Видим, что при увеличении скорости, времени тратится меньше.

Но в этой задаче переменные v и t могут принимать лишь положительные значения, т.к. скорость, время и расстояние это положительные величины.

В дальнейшем мы будем рассматривать функции, задаваемые формулой вида:

Такие функции называют обратными пропорциональностями.

С обратной пропорциональностью мы с вами часто встречаемся в повседневной жизни.

Например:

Масса m кг конфет, которую можно купить на 1 000 рублей по цене p рублей за кг. Зависимость массы конфет от стоимости за килограмм является обратно пропорциональной. Или, если есть прямоугольник длина которого a см, а ширина b см с площадью равной 27 см². Такая зависимость также является обратно пропорциональной.

Определение:

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида:

где x – независимая переменная и k – не равное 0 число.

Число k – называют коэффициентом обратной пропорциональности.

В нашем примере

Областью определения функции, заданной формулой вида:

является множество действительных чисел, отличных от нуля, т.к. выражение  имеет смысл при любых x, кроме x равное нулю.

Теперь давайте построим график обратной пропорциональности .

Полученный график состоит из двух симметричных относительно начала координат частей. Их обычно называют ветвями. Одна из этих ветвей расположена в первой четверти, вторая – в третьей.

График функции  при любом k > 0 имеет такой же вид, что и график функции .

Теперь построим график функции .

Такой же вид имеет график функции  при любом k < 0.

Определение:

Кривую, являющуюся графиком обратной пропорциональности, называют гиперболой.

Гипербола состоит из двух ветвей.

Задание: задайте формулой обратную пропорциональность, зная, что её график проходит через точку А с координатами (10; 0,5). Постройте указанную гиперболу.

Решение:

Задание: функция задана формулой . Заполните таблицу.

Решение:

Для того чтобы заполнить таблицу, надо подставлять известные данные в формулу функции и решать полученные уравнения.

Итоги:

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида:

где x – независимая переменная и k – не равное 0 число.

Число k – называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Кривую, являющуюся графиком обратной пропорциональности, называют гиперболой.

Гипербола состоит из двух ветвей. При k > 0 ветви гиперболы лежат в 1-ой и 3-ей четвертях. При k < 0 ветви гиперболы лежат во 2-ой и 4-ой четвертях.