Факультативное занятие по теме "Что такое правильный многогранник"

Факультативное занятие по теме :«Что такое правильный многогранник»

Разработала: учитель математики Соловьева В.Ю.

Тип занятия: изучение нового материала.

   Цель урока: дать понятия правильного многогранника, познакомить с историей возникновения и развития теории многогранников, с основными свойствами правильных многогранников.

     Задачи урока:

1.    Формирование пространственных представлений, математической культуры, культуры общения.

2.    Развитие умения наблюдать, умения рассуждать по аналогии.

3.    Воспитание   графической культуры.

Оборудование: модели правильных многогранников, доска, мел.

Структура урока.

Ход урока.

1.Организационный момент.

2. Сообщение темы и цели урока.

Увлекательный раздел геометрии – теория многогранников. Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. Сегодня на уроке мы узнаем и увидим много интересного, нам предстоит ответить на такие вопросы, как, например: Какие многогранники называются правильными? Сколько их существует? Что такое Эйлерова характеристика? Какие тела носят название тел Кеплера- Пуансо? И многие - многие другие… И, наконец: где, зачем и для чего нам нужны многогранники? Может быть, в жизни можно обойтись и без них?

3. Повторение.

- Давайте вспомним, что же называется многогранником? Его вершиной, гранью, ребром? Какой многогранник называется выпуклым? 
Определите, какие из многогранников, изображенных на рисунке, являются выпуклыми и какие невыпуклыми? 

Ответ: Выпуклые – б), д); невыпуклые – а), в), г).

- Какие виды многогранников вы знаете?

- Что называется призмой, пирамидой? 

4. Изучение нового материала

Мы уже знакомы с правильными многоугольниками. Уточним это понятие.

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК - выпуклый многогранник, грани которого являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер. (Учащимся демонстрируются модели всех правильных многогранников.)

ТЕТРАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из четырех правильных треугольников.

ГЕКСАЭДР (КУБ) – правильный многогранник, поверхность которого состоит из шести правильных четырехугольников (квадратов)

ОКТАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из восьми правильных треугольников.

ДОДЕКАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двенадцати правильных пятиугольников.

ИКОСАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двадцати правильных треугольников. 

- Как вы думаете, почему они получили такое название? (ответы детей)

- Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней:

«эдра» - грань

«тетра» - 4

«гекса» - 6

«окта» - 8

«икоса» - 20

«додека» - 12

-Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, 13-я книга знаменитых "Начал” Евклида. Как говорилось раньше, эти многогранники часто называют также платоновыми телами – в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном, четыре из них олицетворяли 4 стихии: тетраэдр – огонь, куб – землю, икосаэдр – воду, октаэдр – воздух, пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание – его по-латыни стали называть quinta essentia (квинта эссенция), означающее все самое главное, основное, истинную сущность чего-либо.

Внимательно рассмотрите правильные многогранники и скажите, какими свойствами они обладают. (При рассмотрении выявляются следующие свойства правильных многогранников :

все ребра равны;

все плоские углы равны;

все грани - равные правильные многоугольники;

все двугранные углы равны;

все многогранные углы равны;

все многогранные углы имеют одно и то же число граней.)

А кто мне скажет, почему у меня на столе только 5 моделей правильных многогранников?

Обратите внимание на то, что типов многоугольников существует бесконечно много, а правильных многогранников - только пять. Это можно доказать с помощью теоремы Эйлера. А кто такой Эйлер и что это за теорема мы узнаем на следующем занятии.

5.Закрепление пройденного материала.

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1.В правильном тетраэдре попарно соединены середины всех его шести ребер. Какое при этом получится тело?

Задача 2.Ребро правильного октаэдра равно a. Определить расстояние между двумя противоположными вершинами октаэдра (ось октаэдра).

Задача 3.Ребро куба равно а. Вычислить поверхность вписанного в него правильного октаэдра. Найти ее отношение к поверхности вписанного в тот же куб правильного тетраэдра.

Задача 4.Зная длину ребра а правильного тетраэдра и куба, найти радиусы описанной и вписанной в них сфер.

6. Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания.

Сегодня на уроке мы узнали, какие многогранники называются правильными, что существует всего 5 видов правильных многогранников. Давайте повторим, как называются эти многогранники ( тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр). Узнали, какими свойствами обладают все правильные многогранники.

Домашнее задание: приготовить доклад об Эйлере, его жизни и деятельности. Рассмотреть теорему Эйлера о существовании 5-и правильных многогранниках.

Задача:

Доказать, что в правильном октаэдре: противоположные ребра параллельны; грани попарно параллельны.