Геометрический и физический смысл производной.

Министерство здравоохранения Оренбургской области

ГАПОУ «Оренбургский областной медицинский колледж»

Методическая разработка

для преподавателя

по дисциплине БД.04 МАТЕМАТИКА

«Геометрический и физический смысл производной.

Касательная к графику функции»

.

Оренбург – 2022

Рассмотрено и одобрено

на заседании ПЦК

общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ от «__»_______

Председатель ПЦК

_________________ Н.В. Лапина

Аннотация:

Методическая разработка предназначена для оказания помощи в преподавании и изучении тем «Геометрический и физический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции» по учебнику  Алимова Ш. А., Колягина Ю.М., Ткачёвой М.В. и др. «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень)» на первом курсе на базе основного общего образования по специальностям 34.02.01 Сестринское дело, 33.02.01 Фармация, 31.02.02 Акушерское дело.

В пособии содержится теоретический материал, представлены алгоритмы решения типовых задач, приведены решения примеров, задания для самостоятельной работы.

 Задания составлены таким образом, чтобы можно было осуществить проверку теоретических знаний и практических умений.

Содержание

1.Технологическая карта занятия

Тема: «Геометрический и физический смысл производной. Касательная к графику функции».

Цель: Рассмотреть геометрический и физический смысл производной, вывести уравнение касательной к графику функции, рассмотреть решение практических задач.

Задачи:

Образовательные:

• выявить уровень усвоения понятия производная, производная функции в точке, умения находить производную функции, применять правила и формулы дифференцирования;

• формировать умение находить угловой коэффициент касательной, тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс, составлять уравнение касательной к графику функции;

• формирование умения работать самостоятельно.

Развивающие:

• формирование УУД (личностных, регулятивных, познавательных); 

• продолжать работу по формированию и совершенствованию приемов умственной деятельности: анализ, сравнение, обобщение, аналогия, алгоритмизация, критического мышления.

Воспитательные:

• формировать представления об идеях и методах математики как форме описания и методе познания действительности;

• воспитывать культуру общения, навыки самоконтроля и взаимоконтроля; формировать познавательные интересы и мотивы самосовершенствования.

Планируемые образовательные результаты:

Личностные:

• развитие способности оценивать ситуацию и принимать осознанные решения;

• воспитание аккуратности, точности, самостоятельности, привитие навыков групповой работы, сотрудничества, готовности и способности к образованию и самообразованию.

Метапредметные: 

• воспитание у обучающихся ценностного отношения к труду и полученным знаниям;

• развитие способности и готовности к самостоятельному поиску методов решения практических задач;

• овладение видами деятельности по получению нового знания, его интерпретации, преобразованию и применению в различных учебных ситуациях;

• формирование научного типа мышления, владение научной терминологией, ключевыми понятиями и методами;

• выявлять причинно-следственные связи и актуализировать задачу, выдвигать гипотезу ее решения, находить аргументы для доказательства своих утверждений.

Предметные: 

• ПР 1.2.владение алгоритмами решения задач;

• ПР 4.1. умение оперировать понятиями: функция, непрерывная функция;

• ПР 4.2. умение оперировать понятиями: производная;

• ПР 4.4. умение находить производные элементарных функций, используя справочные материалы;

• ПР 4.7. умение применять производную при решении задач на движение, нахождение пути, скорости и ускорения.

Основные технологии:

• технология оценивания образовательных достижений учащихся; 

• технологии личностно-ориентированного развивающего образования;

• здоровьесберегающая технология;

• технология обучения в сотрудничестве.

Тип занятия: комбинированное (изучение нового и закрепление).

Вид занятия: теоретическое.

Формы организации учебной деятельности: групповая, индивидуальная.

Методы обучения: словесные, наглядные, практические, решение задач, алгоритмизированные.

Формы контроля: фронтальный опрос, индивидуальный опрос у доски, решение задач.

Межпредметные связи: физика.

Внутрипредметные связи: производная, правила дифференцирования, элементарные функции, производные элементарных функций.

Оборудование: доска классная, мел, линейка.

Оснащение:

Методическое оснащения занятия:

Рабочая программа учебной дисциплины БД.04 Математика, технологическая карта занятия, методическое пособие для преподавателя.

Дидактическое оснащение занятия: учебник, раздаточный материал (памятки с алгоритмами решения типовых задач, варианты самостоятельной работы).

Литература:

• Алимов Ш. А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень). Просвещение, 2018г.

План:

1. Организационный момент (2-3 мин).

2. Постановка целей и задач, мотивация (5-7 мин).

3. Проверка домашнего задания (3-5 мин).

4. Актуализация знаний (8-10 мин).

• Фронтальный опрос.

• Индивидуальный письменный опрос у доски.

1. Изучение нового (25-30 мин).

• Геометрический смысл производной.

• Физический смысл производной.

• Касательная к графику функции.

1. Первичное закрепление (15-20 мин).

2. Проверка первичного понимания (10-15 мин).

3. Домашнее задание (1-2 мин).

4. Рефлексия (2-3 мин).

2.Ход занятия

1. Организационный момент (2-3 мин).

Проверка присутствующих и их готовности к занятию.

1. Постановка целей и задач, мотивация (5-7 мин).

• Объявление темы.

• Вовлечение обучающихся в постановку цели занятия.

• Обоснование важности изучения темы и умения определять угловой коэффициент касательной к графику функции, тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс и составления уравнения касательной к графику функции при решении практических задач.

1. Проверка домашнего задания (3-5 мин).

Проверка наличия у обучающихся выполненной домашней работы и сверка полученных ответов (при необходимости демонстрация решения у доски тех заданий, которые вызвали затруднения).

1. Актуализация знаний (8-10 мин).

3.1.Фронтальный опрос.

Вопросы:

• Дайте определение приращению аргумента.

• Дайте определение приращению функции.

• Дайте определение понятию производная.

• Перечислите элементарные функции, дайте определение и приведите примеры.

• Дайте определение сложной функции и приведите примеры.

3.2.Индивидуальный письменный опрос у доски.

У доски работают 3 человека.

Задания:

1 ученику: Запишите формулы нахождения производных элементарных функций.

2 ученику: Запишите формулы нахождения производных сложных функций.

3 ученику: Запишите формулы, выражающие правила дифференцирования.

1. Изучение нового (25-30 мин).

5.1. Геометрический смысл производной.

Если к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х₀ можно провести касательную, непараллельную оси у, то производная функции y=f(x) в точке х₀ будет равна угловому коэффициенту в уравнении касательной (у = kx+b) и равна тангенсу угла наклона этой касательной к положительному направлению оси абсцисс:

f′(x₀) = k = tga

Алгоритм нахождения углового коэффициента/тангенса угла наклона касательной в точке х₀

1) Найти производную f’(х).

2) Найти значение производной в точке х₀: f’(х₀).

3) Записать ответ k = f’(х₀) или tgα = f’(х₀).

Рассмотрим примеры:

1. Найти угловой коэффициент касательной функции f(x)= х⁴ + 3х² – 6 в точке х₀=2 (по алгоритму).

1) f’(х) = (х⁴ + 3х² – 6 ) ^’=(х⁴)^’+ (3х² )^’– (6 )^’=4х³ + 3·2·x¹ – 0 = 4x³ +6x.

2) f’(х₀) = f’(2) = 4·2³ +6·2=32+12=44.

3) k = 44.

2. Найти угол наклона касательной к графику функции f(x)= х² - х³ + 2х в точке х₀=1: (по алгоритму).

1) f’(х) = (х² - х³ + 2х) ^’=(х²)^’- (х³ )^’+ (2х)^’= 2х - 3·x² + 2.

2) f’(х₀) = f’(1) = 2·1 - 3·1² + 2=1.

3) tgα = 1 , α = arctg 1 = .

y= x(1 –e) -1.

5.2. Физический смысл производной.

Физический смысл производной состоит в том, что производная функции в точке показывает скорость изменения функции в этой точке.

Пусть S(t) – функция, задающая зависимость от времени t, тогда:

V=S’(t)

a(t) = V’(t),

где а – ускорение в момент времени.

Алгоритм нахождения скорости в момент времени t₀

1) Найти производную S’(t).

2) Найти значение производной в точке t₀: S’(t₀).

3) Записать ответ V = S’(t₀).

Алгоритм нахождения ускорения в момент времени t₀

1) Найти производную S’(t).

2) Найти производную V’(t).

3) Найти значение производной в точке t₀: V’(t₀).

4) Записать ответ a(t) = V’(t₀).

Алгоритм нахождения силы, действующей на точку в момент времени t₀

1) Найти производную S’(t).

2) Найти производную V’(t).

3) Найти значение производной в точке t₀ , a(t) = V’(t₀).

4) Пользуясь формулой F = m·a, вычислить силу действующей на движущееся тело в момент времени t₀.

5) Записать ответ .

Рассмотрим пример:

1) Найти скорость движущегося по закону S(t) = 8t² + 3t³ – 6t + 1 тела в момент времени t₀=1: (по алгоритму).

1) S’(t) = (8t² + 3t³ – 6t + 1) ^’= (8t²)^’+ (3t³)^’– (6t)^’ + (1) ^’ = 16t + 9t² – 6 + 0 = 16t + 9t² – 6.

2) S’(t₀) = S’(1)= 16·1 + 9·1² – 6=16+9-6=19.

3) V = S’(t₀) = 19м/с.

2) Найти ускорение движущегося тела по закону S(t) = 8t² + 3t³ – 6t + 1 в момент времени t₀=1: (по алгоритму).

1) S’(t) = (8t² + 3t³ – 6t + 1) ^’= (8t²)^’+ (3t³)^’– (6t)^’ + (1) ^’ = 16t + 9t² – 6 + 0 = 16t + 9t² – 6.

2) V’(t) = (16t + 9t² – 6) ^’= (16t)^’ +(9t²)^’– (6)^’ = 16 + 18t.

3) V’(t₀) = V’(1)= 16 + 18·1=34.

4) a = V’(t₀) = 34м/с².

5.3. Касательная к графику функции.

Также, зная функцию, заданную аналитически: y=f(x), к которой проводим касательную, и абсциссу точки касания х₀, можно, не производя построения графика функции, составить уравнение этой касательной, используя равенство:

Алгоритм составления уравнения касательной функции f(х) в точке х₀

1. Найти значение функции в точке х₀: f(х₀).

2. Найти производную: f’(х).

3. Найти значение производной в точке х₀: f’(х₀).

4. Записать уравнение касательной, подставив свои данные:

y = f(x₀) + f’ (x₀)(x – x₀).

Алгоритм нахождения всех точек графика функции f(х), для которых угловые коэффициенты касательных, проведенных через эти точки, равны

1) Найти производную f’(х).

2) Приравнять полученное выражение к k и решить уравнение f’(х) = k.

3) Записать ответ.

Рассмотрим пример:

Составить уравнение касательной к графику функции f(x)= lnх - e^x в точке х₀=1: (по алгоритму).

1) f(х₀) = f(1) = ln1 – e¹ = -e.

2) f’(х) = (lnх - e^x ) ^’=( lnх)^’- (e^x )^’ = e^x.

3) f’(х₀) = f’(1) = e¹= 1-e.

4) y = f(x₀) + f’ (x₀) · (x – x₀).

y = -e + (1-e) · (x – 1) = -e + x -1 -ex + e.

y = x -1 –ex.

1. Первичное закрепление (15-20 мин).

Решение заданий из учебника № 776 (2), 778 (2), 858 (2,4), 859 (2,4,6), 860 (2,4).

1. Проверка первичного понимания (10-15 мин).

Задание для самостоятельной работы:

1. Домашнее задание (1-2 мин).

Учить конспект лекции.

№ 776 (1), 778 (1), 858 (3), 859 (3), 860 (1).

1. Рефлексия (2-3 мин).

Ответ на вопросы студентов.

3.Список источников

Основные:

1. Алимов Ш. А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень). Просвещение, 2018г.

Дополнительные:

1. Башмаков М.И. Математика. Книга для преподавателей: методическое пособие для НПО, СПО / М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2013.

2. Богомолов Н.В. Математика: учебник для ссузов / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 7-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2010.

3. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала математического анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

4. Математика: учебно-методический журнал для учителей: Издательский дом 1 сентября. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://mat.1september.ru– Загл. с экрана.

5. Вся элементарная математика: Средняя математическая интернет-школа [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.bymath.net – Загл. с экрана.

6. Информационные, тренировочные и контрольные материалы: Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.fcior.edu.ru – Загл. с экрана.

7. Единая коллекции цифровых образовательных ресурсов [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.school-collection.edu.ru – Загл. с экрана.

8. Официальный информационный портал единого государственного экзамена. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.ege.edu.ru – Загл. с экрана.

9. Математический портал – образовательные онлайн сервисы по математике, физике, теории вероятности и другим предметам [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.webmath.ru – Загл. с экрана.