Классификация и методы решения тригонометрических уравнений

arcsin(-a)= -arcsina;

arctg(-a)= -arctga;

или ни четных, ни нечетных функций:

arccos(-a)= π-arccosa;

arcctg(-a)= π-arcctga.

2) Уравнения, решаемые с помощью замены переменной, имеют вид:

asin²x+bsinx+c=0 (a≠0);

acos²x+bcosx+c=0 (a≠0);

asin²x+bcosx+c=0 (a≠0);

acos²x+bsinx+c=0 (a≠0);

а также

atgx+bctgx+c=0 (a≠0, b≠0)

Пример. Решить уравнение:

atgx+bctgx+c=0, где a≠0, b≠0

ОДЗ: x≠πn/2, n – любое целое число:

Умножим уравнение почленно на tgx≠0:

atg² x+b+c∙tgx=0

Замена переменной tgx=t приводит к квадратному уравнению:

at²+ct+b=0,

после решения которого делается обратная замена и решается простейшее тригонометрическое уравнение относительно tgx.

3) Уравнения, решаемые методом разложения левой части на множители.

Способы разложения многочлена на множители:

1) вынесение общего множителя за скобки;

2) способ группировки.

Пример:

sin³x-3sin²x+sinx-3=(sin³x-3sin²x)+(sinx-3)=

=sin²x(sinx-3)+(sinx-3)=(sinx-3)(sin²x+1).

3) Применение алгебраических формул разложения многочлена на множители:

x²-y²=(x-y)(x+y)

x³-y³=(x-y)(x²+xy+y²)

x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)

4) Линейные однородные тригонометрические уравнения.

4.1. Без свободного члена:

asinx+bcosx=0 (a≠0, b≠0)

Метод решения: разделить почленно на sinx≠0 или cosx≠0, сведя к простейшему относительно tgx или ctgx.

4.2. Со свободным членом:

asinx+bcosx+c=0 (a≠0, b≠0, c≠0)

1 метод (по формулам двойного угла и ОТТ). Преобразовать:

sinx=2sin(x/2)·cos(x/2);

cosx=cos²(x/2) - sin²(x/2);

c=c·1=c∙sin²(x/2) + c∙cos²(x/2);

и, приведя подобные, свести к виду:

Asin²x+Bsinxcosx+Ccos²x=0;

разделить почленно на cos²x≠0:

Atg²x+Btgx+C=0;

с помощью замены переменой tgx=t свести к квадратному уравнению:

At²+Bt+C=0;

решить квадратное уравнение, сделать обратную замену и, в случае D=B²-4AC≥0, решить одно или два простейших тригонометрических уравнения относительно tgx.

2 метод (по формулам сложения):

sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα

sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

Пример. Решить уравнение:

asinx+bcosx=c.

Разделим уравнение почленно на и свернем его левую часть по формуле сложения, после чего решим простейшее тригонометрическое уравнение относительно sinx:

5