ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПРОИЗВОДНОЙ
1. Нахождение интервалов монотонности функции
Правило нахождения монотонности функции y=f(x)
1. Найти производную f’(x) функции, а затем определить точки, в которых f’(x) равна 0 или не существует (критические точки).
2. Исследовать знак f’(x) в промежутках, на которые критические точки делят область определения функции f’(x). В тех интервалах, где f’(x)0, функция возрастает, а тех интервалах, где f’(x)
НАПРИМЕР
Найти интервалы монотонности функции
Решение:
1. Найдем производную функции и приравняем ее к 0.
Затем находим корни, получившегося квадратного уравнения x1=1 b x2=3. Этими точками числовая прямая разбивается на интервалы:
1 интервал (-∞;1)
2 интервал (1;3)
3 интервал (3; +∞)
В каждом, из которых производная сохраняет свой знак.
2 Определим знаки производной на каждом интервале. Для этого необходимо на каждом интервале взять любую точку, которая входит в этот интервал.
На интервале (-∞;1) возьмем точку x=0, тогда f’(x)=02-4*0+3=30
На интервале (1;3) возьмем точку x=2, тогда f’(x)=22-4*2+3=-1
На интервале (3; +∞) возьмем точку x=4, тогда f’(x)=42-4*4+3=30
О
+
-
+
тсюда следует, что данная функция в интервале (-∞;1) возрастает, в интервале (1;3) убывает, в интервал (3; +∞) снова возрастает.
Записываем ответ: Функция возрастает (-∞;1) (3; +∞)
Функция убывает (1;3).
2. Нахождение экстремумов функции
Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью первой производной.
1. Найти производную f’(x) функции, а затем определить точки, в которых f’(x) равна 0 или не существует (критические точки).
2. Исследовать знак f’(x), в некоторой окрестности каждой из критических точек. Если производная f’(x) изменяет знак при переходе через такую точку, то функция в этой точке является экстремумом, а если знак f’(x) не изменяется, то функция в этой точке экстремума не имеет. При этом если при переходе через рассматриваемую точку слева направо знак f’(x) изменяется с «-» на «+», то в этой точке достигается min, а если с «+» на «-» то max.
НАПРИМЕР
Найти интервалы монотонности функции
Решение:
1. Найдем производную функции и приравняем ее к 0.
Затем находим корни, получившегося квадратного уравнения x1=1 b x2=3. Этими точками числовая прямая разбивается на интервалы:
1 интервал (-∞;1)
2 интервал (1;3)
3 интервал (3; +∞)
В каждом, из которых производная сохраняет свой знак.
2 Определим знаки производной на каждом интервале. Для этого необходимо на каждом интервале взять любую точку, которая входит в этот интервал.
На интервале (-∞;1) возьмем точку x=0, тогда f’(x)=02-4*0+3=30
На интервале (1;3) возьмем точку x=2, тогда f’(x)=22-4*2+3=-1
На интервале (3; +∞) возьмем точку x=4, тогда f’(x)=42-4*4+3=30
Отсюда следует, что данная функция в интервале (-∞;1) возрастает, в интервале (1;3) убывает, в интервал (3; +∞) снова возрастает.
Производная при переходе через точку x=1 меняет знак с «+» на «-», то функция в этой точке max. При переходе через точку x= 3 меняет знак с «-» на «+», то функция в этой точке min.
Затем в каждой точке находим значение.
Подставим данные точки в изначальную функцию
f(1)= -1
f(3)=1
Записываем ответ: max(1)=-1
min(3)=1
3. Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости графика функции
Правило нахождения интервалов выпуклости графика функции y=f(x) с помощью второй производной.
1. Найти вторую производную f″(x) функции, а затем определить точки, в которых f″(x) равна 0 или не существует (критические точки).
2. Исследовать знак f″(x) в интервалах, на которые найденные точки делят область определения функции f″(x). В тех интервалах, где f″(x)0 график функции является выпуклым вниз (вогнутым), а в тех интервалах где f″(x)
НАПРИМЕР
Найти интервалы выпуклости графика функции
Решение:
1. Найдем вторую производную функции и приравняем ее к 0.
Вторую производную приравняем к 0 и найдем критические точки.
Затем находим корни, получившегося квадратного уравнения x1= -1 b x2=2. Этими точками числовая прямая разбивается на интервалы:
1 интервал (-∞;-1)
2 интервал (-1;2)
3 интервал (2; +∞)
В каждом, из которых производная сохраняет свой знак.
2 Определим знаки второй производной на каждом интервале. Для этого необходимо на каждом интервале взять любую точку, которая входит в этот интервал.
На интервале (-∞;-1) возьмем точку x=-2, тогда f″(x)=-22+2-2=40
На интервале (-1;2) возьмем точку x=0, тогда f″(x)=02-0-2=-2
На интервале (2; +∞) возьмем точку x=3, тогда f″(x)=32-3-2=40
Отсюда следует, что данная функция в интервале (-∞;-1) выпуклая вниз (вогнутая), в интервале (-1;2) функция выпуклая вверх, в интервал (2; +∞) функция вогнутая.
Записываем ответ: Функция выпуклая вниз (вогнутая) (-∞;-1) (2; +∞)
Функция выпуклая вверх (-1;2).
4. Нахождение точек перегиба графика функции.
Правило нахождения точек перегиба графика функции
Правило нахождения интервалов выпуклости графика функции y=f(x) с помощью второй производной.
1. Найти вторую производную f″(x) функции, а затем определить точки, в которых f″(x) равна 0 или не существует (критические точки).
2. Исследовать знак f″(x) в интервалах, на которые найденные точки делят область определения функции f″(x). В тех интервалах, где f″(x)0 график функции является выпуклым вниз (вогнутым), а в тех интервалах где f″(x)
Точка перегиба. Точки, в которых выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, называются точками перегиба.
Для нахождения точек перегиба если их несколько или одна, необходимо найденные критические точки подставить в изначальную функцию (найденные точки будет являться координатой y).
НАПРИМЕР
Найти точки перегиба графика функции
Решение:
1. Найдем вторую производную функции и приравняем ее к 0.
Вторую производную приравняем к 0 и найдем критические точки.
Затем находим корни, получившегося квадратного уравнения x1= -1 b x2=2. Этими точками числовая прямая разбивается на интервалы:
1 интервал (-∞;-1)
2 интервал (-1;2)
3 интервал (2; +∞)
В каждом, из которых производная сохраняет свой знак.
2 Определим знаки второй производной на каждом интервале. Для этого необходимо на каждом интервале взять любую точку, которая входит в этот интервал.
На интервале (-∞;-1) возьмем точку x=-2, тогда f″(x)=-22+2-2=40
На интервале (-1;2) возьмем точку x=0, тогда f″(x)=02-0-2=-2
На интервале (2; +∞) возьмем точку x=3, тогда f″(x)=32-3-2=40
Отсюда следует, что данная функция в интервале (-∞;-1) выпуклая вниз (вогнутая), в интервале (-1;2) функция выпуклая вверх, в интервал (2; +∞) функция вогнутая.
Так как при прохождении через данные точки выпуклость вниз меняется на выпуклость вверх и обратно, следовательно, эти точки являются точками перегиба. Для этого необходимо точки -1 и 2 подставить в изначальную функцию.
Записываем ответ: Точки перегиба (-1;-3/4), (2;-2)
5. Нахождение минимального и максимального значения функции на отрезке [a,b]
Правило нахождения минимального и максимального значения функции на отрезке [a,b].
1. Найти производную f′(x) функции, а затем определить точки, в которых f’(x) равна 0 или не существует (критические точки, принадлежащие данному отрезку).
2. Определить входят ли данные точки в отрезок. Если точки принадлежат отрезку, необходимо найти значение в этих точках, а также на концах отрезка, то есть в x=a и x=b. Сравнить все полученные значения и выбрать самое наименьшее и самое наибольшее значения.
ПРИМЕР
Найти наименьшее значение функции
[-2;0]
Найдем производную функции и приравняем к 0.
Затем находим корни, получившегося квадратного уравнения x1= 2 b x2=-1.
Значение x=2 не принадлежит отрезку [-2;0].
Значение x= -1 принадлежит отрезку.
Затем найдем значение функции при x= -2; x= -1; x=0
f (-2)=(-2)3-1,5*(-2)2-6*(-2)+1= -1
f (0)=(0)3-1,5*(0)-6*(0)+1=1
f (-1)=(-1)3-1,5*(-1)-6*(-1)+1=4,5
Сравнив все найденные значения min= -1; max=4,5
Записываем ответ: min= -1; max=4,5