Обучение учащихся построению графиков функций с модулем

Обучение учащихся построению графиков функций с модулем

Построение графиков, содержащих модуль, осуществляется двумя способами:

1. На основании определения модуля

Построение графика функции



Приведем пример построения графика функции 



Построение графика функции 



Приведем пример построения графика функции 



1. На основании правил геометрического преобразования графиков функций.

Какие геометрические преобразования, можно использовать при построении графиков функций? (параллельный перенос вдоль осей ОХ и ОУ, симметричное отображение относительно осей или точки)

Построение графика .

Чтобы построить график функции , если известен график функции , нужно оставить на месте ту его часть, где , и симметрично отобразить относительно оси Х другую его часть, где .

Алгоритм построения графика:

1. Построить график функции ,

2. Часть графика , лежащая над осью ОХ, сохраняется, а часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ.

Построение графика .

Чтобы построить график функции , если известен график функции , нужно оставить на месте ту его часть, где , а при  отобразить построенную часть симметрично относительно оси ОУ.

Алгоритм построения графика:

Построить график функции ,

При  график сохраняется, а при  отображается построенная часть симметрично относительно оси ОУ.

• Приведем пример построения графика функции 

В “основе” его лежит график функции, он выглядит так :

Теперь построим график

Чтобы получить этот график, достаточно всего лишь сдвинуть полученный ранее график на три единицы вправо. Заметим, что, если бы в знаменателе дроби стояло бы выражение х+3, то мы сдвинули бы график влево:

Теперь необходимо умножить на два все ординаты, чтобы получить график функции

Наконец, сдвигаем график вверх на две единицы:

Последнее, что нам осталось сделать, это построить график данной функции, если она заключена под знак модуля. Для этого отражаем симметрично вверх всю часть графика, ординаты которой отрицательны (ту часть, что лежит ниже оси х):

• Теперь построим график функции

Выражение, стоящее под знаком модуля, меняет знак в точке х=2/3. При х

При х2/3 функция запишется так:

То есть точка х=2/3 делит нашу координатную плоскость на две области, в одной из которых (правее) мы строим функцию ,

а в другой (левее) – график функции

• Следующий график – также ломаная, но имеет две точки излома, так как содержит два выражения под знаками модуля:

Посмотрим, в каких точках подмодульные выражения меняют знак:

Расставим знаки для подмодульных выражений на координатной прямой:

Раскрываем модули на первом интервале:

На втором интервале:

На третьем интервале:

Таким образом, на интервале (-∞; 1.5] имеем график, записанный первым уравнением, на интервале [1.5; 2] – график, записанный вторым уравнением, и на интервале [2;∞) - график по третьему уравнению:

Строим:

4. Теперь можем построить  график, похожий на один из предыдущих, и все же отличающийся:

В основе опять знакомый нам график функции

но, если в знаменателе x стоит под знаком модуля,

то график имеет вид:

Теперь произведем сдвиг на три единицы,

 при этом сдвинутся обе части: правая - вправо, левая - влево (своеобразное зеркало : отходишь дальше - видно больше)

График этой функции, умноженной на два,

выглядит так:

Теперь можно поднять график по оси у:

и тогда он будет таким:

Наконец, строим окончательный вид графика, отражая все, что ниже оси абсцисс, вверх:

5.Очень интересно выглядит график функции

В точках 2 и (-2) знак подмодульного выражения меняет знак, поэтому функция состоит из трех кусков (точки 2 и (-2) выколоты). На участках  (-∞; -2) и (2; ∞) справедливо первое уравнение, а на участке (-2;2) - второе:

6. Две следующие функции отличаются знаком, и графики их выглядят по разному:

7. Еще два похожих графика, вид которых меняется в зависимости от х в показателе степени:

Первый:

Второй:

8.Теперь построим график такой функции:

Здесь точкой перемены знака подмодульного выражения является х=4. Тогда на интервале (-∞; 4] функция выглядит так:

А на интервале [4; ∞)  так:

Точка вершины первой параболы (2;-12), она обращена вниз ветвями, точка вершины второй параболы (6, -20), ветви ее обращены вверх. В итоге имеем:

9. Построим график функции, которая, на первый взгляд, выглядит устрашающе:

Однако многочлен в числителе раскладывается на множители:

Точки перемен знака подмодульных выражений – 4 и (-2). Точки эти (они выколоты) разбивают числовую прямую на три интервала, на которых данная функция будет выглядеть:

На первом интервале (-∞; -2):

На втором интервале (-2;4):

На третьем интервале (4;∞):

Строим:

Внесем небольшие изменения, добавив двойку в знаменатель исходной функции:

Тогда точки перемены знака остаются те же, но функция выглядит иначе на разных интервалах:

На первом интервале (-∞; -2):

На втором интервале (-2;4):

На третьем интервале (4;∞):

График изменится:

10. Наконец, последний график мы построим для функции

Начнем построение с “базовой” для этого графика функции

она выглядит так:

Далее добавим знак модуля под корень:

Теперь опустим этот график вниз на 4 единице по оси у:

“Опрокинем” все, что ниже оси х, вверх,

и не забудем поделить все ординаты на 2: