Пирамида, Высота пирамиды

Методическая разработка по теме

«Пирамида. Высота пирамиды»

с применением

лекционно-семинарско-зачетной технологии

Подготовила: учитель математики

Насретдинова Н.Ф.

Пирамида. Высота пирамиды.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Характеристика темы урока. Содержанием темы являются понятия: пирамида и её элементы (вершины, ребра, грани), высота пирамиды, площадь полной и боковой поверхности пирамиды. Эта часть теории легка для восприятия и не вызывает затруднений у учащихся. Кроме того, содержанием темы являются и теоремы о высоте пирамиды, которых нет в явном виде ни в учебнике А.В.Погорелова, ни в учебнике Л.С. Атанасяна, но некоторые из них неявно встречаются в учебнике Л.С.Атанасяна в виде задач (№ 244, № 245, №247, № 249). Несмотря на это, в учебнике Л.С.Атанасяна встречается достаточное количество задач на применение этих теорем.

Цели урока:

1. Образовательные

   1. Сформировать понятие пирамиды и её элементы;

   2. Изучить теоремы о высоте пирамиды;

   3. Показать применение теорем при решении задач.

2. Воспитательные:

   1. Организация внимания у учащихся;

   2. Формирование сознательного отношения к труду.

   3. Организованность, дисциплинированность.

   4. Культура оформления записей в тетради.

3. Развивающие:

   1. Развитие пространственного воображения, логического мышления, культуры математической речи, умений сравнивать, обобщать, анализировать, делать выводы.

   2. Формирование навыков работы с таблицами.

Отбор основного содержания учебного материала.

1. Актуализация опорных знаний и умений.

Из планиметрии: понятия описанной окружности около многоугольника, центра описанной окружности, формулы для нахождения радиуса описанной окружности около треугольника (произвольного, равностороннего), прямоугольника, квадрата, правильного многоугольника.

Из стереометрии: понятия перпендикуляра, проведенного из данной точки к плоскости; угла между прямой и плоскостью; угла между плоскостями.

1. Формирование понятия пирамида и её элементов. Первоначальные сведения о пирамиде учащиеся получают ещё в 6 классе на уроках математики. На уроках геометрии при изучении темы «Треугольник» осуществляю выход в пространство, где продолжаем знакомится с понятием «Пирамида», поэтому многие понятия учащимся знакомы. Кроме того, в 10-м классе уже рассмотрен частный случай пирамиды – тетраэдр. Остается обобщить накопленный материал по теме «Пирамида» и познакомить учащихся с формулами для нахождения полной и боковой поверхности пирамиды. В тетради у учащихся записывается опорный конспект.

1. Организация изучения теорем о высоте пирамиды: мотивация изучения теорем, усвоение формулировок теорем, ознакомление со способом доказательства теорем, применение теорем при решении задач.

Оборудование урока. Таблицы, модели пирамид, каркасные модели.

Методы обучения. Различные этапы урока реализуются с помощью различных методов обучения. Наибольшее распространение получили эвристический и репродуктивный методы.

Структура урока.

1. Организационный момент. Постановка целей, задач урока.

2. Актуализация знаний и умений.

3. Формирование понятия пирамида.

4. Изучение теорем о высоте пирамиды.

5. Применение теорем при решении задач.

6. Подведение итогов работы на уроке.

7. Домашнее задание.

Ход урока.

1. Организационный момент. Постановка целей, задач урока.

2. Актуализация знаний и умений. На доске заготовлены чертежи (смотри приложение). Вопросы к чертежам:

1. Какая окружность называется описанной около многоугольника? Где расположен её центр? Назовите радиус описанной окружности.

2. Всегда ли около многоугольника можно описать окружность? Около каких многоугольников всегда можно описать окружность?

3. Где находится центр описанной окружности:

   1. около правильного треугольника;

   2. прямоугольного треугольника;

   3. остроугольного треугольника ;

   4. тупоугольного треугольника;

   5. прямоугольника;

   6. квадрата;

   7. правильного многоугольника.

3. Изучение нового материала.

Рассмотрим многоугольник А1А2…Аn и точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника.

Многогранник, составленный из n-угольника А1А2…Аn и n треугольников PА1А2, PА2А3,…, PАnА1 называется пирамидой.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания.

Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей всех граней (основания и боковых).

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней.

Опорный конспект.

На моделях пирамид (треугольная, четырехугольная, шестиугольная) отрабатываются элементы пирамиды, уточняется понятие тетраэдра.

1. Формирование новых знаний и умений. Устная задача по готовому чертежу.

Задача. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей – 8 см. Найдите длины боковых ребер пирамиды, если её высота проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.

Решение.

1. SB=SD, SA=SC как наклонные, проекции которых равны (AO=OC, BO=OD по свойству диагоналей ромба).

2. Т.к. SO (ABC), то по определению SO AO, SO OD.

3. ∆SOA – прямоугольный, т.к. SOA=90° .

AO= AC по свойству диагоналей ромба, AO= 4 см.

По теореме Пифагора

1. Т.к. SA=SC, то

2. ∆AOD – прямоугольный (AC BD по свойству диагоналей ромба, значит, AOD=90°).

По теореме Пифагора

OD = 3 см.

1. ∆SOD – прямоугольный, т.к. SOD=90° .

По теореме Пифагора

1. Т.к. SD=SB, то

Ответ:

1. Изучение теорем о высоте пирамиды. Очень часто при решении задач необходимо знать, где именно будет находиться основание высоты пирамиды. Решение этих задач упрощается с использованием некоторых теорем, связанных с высотой пирамиды.

Теорема 1. Если боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости основания, то высотой пирамиды является высота этой боковой грани, проведенная из вершины пирамиды к стороне основания.

На модели отрабатывается условие, заключение и доказательство теоремы.

Теорема 2. Если в пирамиде две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, то их общее боковое ребро является высотой пирамиды.

Теорема 3. Если в пирамиде два смежных боковых ребра равны, то основание высоты пирамиды лежит на серединном перпендикуляре, проведенном к той стороне основания, из концов которой исходят эти боковые ребра.

Теорема 4. Если в пирамиде:

,

то основание высоты пирамиды совпадает с центром описанной около основания пирамиды окружности.

Учащиеся по рядам выполняют чертеж к одному из трех условий, выписывают условие и заключение теоремы, доказывают утверждение. Далее по одному учащемуся выходят к доске, выполняют чертеж, формулируют условие и заключение теоремы, проводят доказательство. В результате делается вывод о том, что доказательство всех трех утверждений сводится к доказательству равенства одних и тех же прямоугольных треугольников по разным элементам.

1. Применение теорем при решении задач.

Задача 1 (к теореме 4). Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите высоту пирамиды.

Решение.

1. Так как SO – высота пирамиды и SA=SB=SC=SD, то точка О – центр описанной окружности около ABCD.

2. Так как ABCD – прямоугольник и т.О – центр описанной около него окружности, то AC BD=O.

3. ∆ABC – прямоугольный, т.к. ABC=90° .

По теореме Пифагора

AC = 10 (см)

AO= AC по свойству диагоналей прямоугольника, AO= 5 см.

1. SO – высота пирамиды, значит, SO (ABC), поэтому по определению SO AO.

2. ∆SOA – прямоугольный, т.к. SOA=90° .

По теореме Пифагора

SO=12 см.

Ответ: 12 см.

Задача 2 (№ 245 из учебника Л.С.Атанасяна «Геометрия 10-11»). Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы в 30º и 45º. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

1. (PAB) (ABC), (PBC) (ABC) по условию, значит PB – высота пирамиды, поэтому по определению PB (ABC).

2. Так как PB (ABC), то PC и PA – наклонные к плоскости основания, а BC и AB их проекции на эту плоскость соответственно.

3. BC CD, BA AD (ABCD - прямоугольник), поэтому по теореме о 3-х перпендикулярах PC CD, PA AD, значит,

4. Пусть PB - x см.

5. ∆PBA – прямоугольный и равнобедренный ), значит, PB=AB=x см.

6. ∆ PBС – прямоугольный . Так как PCB=30º, то

По теореме Пифагора

1. ∆ ABD – прямоугольный .

По теореме Пифагора

x = - 4 – не удовлетворяет условию задачи.

AB=PB=4 см, BC=4 см.

1. SABCD=AB·BC; SABCD=16 см.

1. ∆ APB – прямоугольный и равнобедренный

По теореме Пифагора

10.

11. Sп.п.=SPAB+SPBC+SPCD+SPDA+SABCD;

Ответ:

Задача 3. (к теореме 4). Найдите величину двугранного угла при основании четырехугольной пирамиды, в основании которой квадрат, если боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60°.

Р ешение:

1. Пусть PO – высота пирамиды, тогда РО (АВС).

2. Т.к. РО (АВС), то РА, РВ, РС, РD – наклонные, АО, ВО, СО, DO – их проекции на (АВС), поэтому

3. по условию и РО – высота пирамиды, значит, точка О – центр описанной окружности около АВСD.

4. По условию АВСD – квадрат, значит, AC BD=O.

5. Проведем ОК ВС, тогда РК ВС по теореме о 3-х перпендикулярах и РКО – линейный угол двугранного угла РВСА.

6. Пусть ОК – х. Т.к. АВСD – квадрат, то точка О – центр описанной и вписанной окружности. ОК=r, ОА=R. Отсюда, ОА=х .

7. РО (АВС) и ОВ (АВС), значит, по определению РО ОА.

8. ∆ PОA – прямоугольный .

1. РО (АВС) и ОК (АВС), значит, по определению РО ОК.

2. ∆ PОК – прямоугольный .

Ответ: .

6. Подведение итогов урока.

7. Домашнее задание: глава III, §2, п. 28 стр. 65-66 теория, учить теоремы о высоте пирамиды, уметь доказывать. Письменно № 243, № 251, № 252.