Практические работы по дисциплине ЕН.01 Математика для заочного отделения

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Горнозаводский политехнический техникум»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

Специальность 13.02.11 Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования (по отраслям)

(заочная форма обучения )

ЕН.01 МАТЕМАТИКА

2022 год

Составитель: Малкова Венера Александровна, преподаватель математики высшей квалификационной категории

РАССМОТРЕНО УТВЕРЖДАЮ

Заместитель директора на заседании ПЦК________________ А.И. Менгалиева_____________

________________________________ «______»_____________________ «____»_____________________

^{№ протокола и дата заседания}

________________________________

^{подпись и Фамилия И.О. председателя ЦМК}

РАССМОТРЕНО

На заседании методического совета

______________________________

.^{№ протокола и дата заседания}

Пояснительная записка

Методические указания к выполнению практических занятий для обучающихся составлены в соответствии с требованиями федерального государственного образовательного стандарта по специальности 13.02.11 Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования (по отраслям), учебным планом и рабочими программами ЕН.01 Математика.

Практические занятия служат связующим звеном между теорией и практикой. Они необходимы для закрепления теоретических знаний, полученных на уроках теоретического обучения, а так же для получения практических навыков. Практические задания выполняются студентом самостоятельно, с применением знаний и умений, полученных на уроках, а так же с использованием необходимых пояснений, полученных от преподавателя при выполнении практического задания.

Целями проведения практиче­ских занятий являются:

- обобщение, систематизация, углубление, закрепление полу­ченных теоретических знаний по конкретным темам учебной дисциплины «Математика»;

- формирование умений применять полученные знания на практике, реализацию единства интеллектуальной и практической деятельности;

- выработка при решении поставленных задач таких профес­сионально значимых качеств, как самостоятельность, ответствен­ность, точность.

Методические указания разработаны в соответствии с учебной программой. В зависимости от содержания они могут выполняться студентами индивидуально или фронтально.

Раздел 1. Основные понятия и методы математического анализа

Тема 1.1 Дифференциальное исчисление

Практическое занятие №1

Тема: 1 «Вычисление производных и дифференциалов высших порядков»

Время на выполнение: 2 часа

Цель: Знать определение производной функции, производные основных функций, правила нахождения производной сложной функции, геометрический смысл производной.

Уметь решать прикладные задачи на определение производной функции.

Обеспечение: инструкционно-технологические карты, микрокалькуляторы

Краткие теоретические сведения:

Производной функции y=f(x) по переменной xназывается предел отношения приращения функции к приращению аргумента x, когда последнее стремится к нулю, т.е. y_x′= = .

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием.

Геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной к графику функции.

Дифференциалом функции y=f(x) называется главное слагаемое приращения функции, линейное относительно Δx.y′=

Формулы дифференцирования:

1) С=сonst, (C)′=0; 2) (C∙f(x))′=C∙f′(x);

3) (f(x)+g(x))′= f′(x)+g′(x); 4) (f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g′(x);

5) = ; 6) (xⁿ)′=n∙x^n-1

7) (sinx)′=cosx; 8) (cosx)′=-sinx.

Производная сложной функции: (f(g(x)))′=f′((g(x))∙g′(x).

8) y= , dy=3 ∙cosx+ (-sinx).

Практическое задание

Найти производную функции:

1) y= ; 2) y= ;

3) y=sin²x; 4) y=2 + - - + 1;

5) y=cos(x/3); 6) y=

7) Найти дифференциал функции: y=3

Критерии оценивания:

Для получения отличной оценки студент должен:

Соблюдать алгоритм выполнения задания

Соблюдать отведенное время

Работа выполнена правильно и в полном объеме

Отчет выполнен в соответствии с требованиями

При невыполнении или неправильном выполнении одного из пунктов оценка снижается на один балл

Список рекомендуемых источников

1. Дадаян, А. А. Математика : учебник / А.А. Дадаян. — 3-е изд., испр. и доп. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 544 с. — (Cреднее профессиональное образование). - ISBN 978-5-16-012592-3. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1214598 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

2. Шипова, Л. И. Математика : учебное пособие / Л.И. Шипова, А.Е. Шипов. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 238 с. — (Среднее профессиональное образование). - ISBN 978-5-16-014561-7. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1127760 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

3. Расулов, К. М. Гомонов, С. А. Математика. Линейная алгебра : учебно-справочное пособие / С. А. Гомонов, К. М. Расулов ; под общ. ред. К. М. Расулова. — Москва : ФОРУМ : ИНФРА-М, 2021. — 144 с. — (Профессиональное образование). - ISBN 978-5-91134-713-0. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1081982 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

4. Юхно, Н. С. Математика : учебник / Н.С. Юхно. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 204 с. — (Среднее профессиональное образование). — DOI 10.12737/1002604. - ISBN 978-5-16-014744-4. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1796822 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

Тема 1.2 Исследование функции при помощи производных

Практическое занятие №2

Тема: «Исследование функции при помощи производных»

Время на выполнение:4 часа

Цель: Знать алгоритм исследования функции с помощью производной

Уметь решать прикладные задачи на исследование функции с помощью производной правила нахождения производной сложной функции, геометрический смысл производной. Уметь решать прикладные задачи на определение производной функции.

Обеспечение: инструкционно-технологические карты, микрокалькуляторы

Краткие теоретические сведения:

Функция y=f(x) монотонно возрастает, если большему значению аргумента х соответствует большее значение функции f(x) и производная 0. Функция монотонно убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функциии производная

В точке экстремума производная функции равна нулю.

Признаки максимума: производная в точке максимума равна нулю, и в этой точке меняет знак с «плюса» на «минус»

Признаки минимума: производная в точке минимума равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс»

Пример 1. Исследовать функцию y=2x²-3x

А) Определим точки, в которых производная равна нулю. y′=4x– 3

4x-3=0; x_о=3/4; точка экстремума x_о=3/4.

Б) Определим знак производной при xxo. y′(1/2)=4∙1/2-3= -1y′(xxo)

В) Определим знак производной при xxo. y′(1)=4∙1-3-10;

y′(xxo)0.

Г) Точка экстремума x=3/4 в этой точке производная меняет знак с «-» на «+», значит в точке x=3/4 минимум. На участке (-∞; 3/4) функция убывает; на участке (3/4; ∞) функция возрастает.

Практическое задание

.Найти экстремумы и точки минимума и максимума, участки возрастания и убывания функции:

1) y =x² – 1; 2) y = (1/3)x³-(3/2)x²-4x+6;

3) y=4x² – 12; 4) y=x⁵

5)y=3x³ 6)y=x² – 6x + 3

7)y=-2x² + 8x – 5

Критерии оценивания:

Для получения отличной оценки студент должен:

Соблюдать алгоритм выполнения задания

Соблюдать отведенное время

Работа выполнена правильно и в полном объеме

Отчет выполнен в соответствии с требованиями

При невыполнении или неправильном выполнении одного из пунктов оценка снижается на один балл

Список рекомендуемых источников

1. Дадаян, А. А. Математика : учебник / А.А. Дадаян. — 3-е изд., испр. и доп. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 544 с. — (Cреднее профессиональное образование). - ISBN 978-5-16-012592-3. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1214598 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

2. Шипова, Л. И. Математика : учебное пособие / Л.И. Шипова, А.Е. Шипов. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 238 с. — (Среднее профессиональное образование). - ISBN 978-5-16-014561-7. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1127760 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

3. Расулов, К. М. Гомонов, С. А. Математика. Линейная алгебра : учебно-справочное пособие / С. А. Гомонов, К. М. Расулов ; под общ. ред. К. М. Расулова. — Москва : ФОРУМ : ИНФРА-М, 2021. — 144 с. — (Профессиональное образование). - ISBN 978-5-91134-713-0. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1081982 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

4. Юхно, Н. С. Математика : учебник / Н.С. Юхно. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 204 с. — (Среднее профессиональное образование). — DOI 10.12737/1002604. - ISBN 978-5-16-014744-4. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1796822 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

Практическое занятие №3

Тема: «Исследование и построение графиков сложных функций»

Время на выполнение: 2 часа

Цель: Формирование общих компетенций:

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития

Обеспечение: инструкционно-технологические карты, микрокалькуляторы

Краткие теоретические сведения:

Исследование функций с помощью производной.

1. Область определения функции.

2. Нули функции - точки пересечения функции с осью абсцисс.

Следует решить уравнение: .

Четность, нечетность. Если функция четная, то ее график симметричен относительно оси ординат, если нечетная, то график симметричен относительно начала координат.

1. Критические точки - точки, в которых производная равна нулю или не существует. Точки разрыва – точки, в которых функция не существует.

Следует найти производную функции и решить уравнение: .

1. Промежутки монотонности.

1. Если то ;

2. Если то .

1. Точки экстремума.

1. Если в критической точке производная меняет знак с «+» на «-», то - точка максимума (max).

2. Если в критической точке производная меняет знак с «-» на «+», то - точка минимума (min).

3. Если в критической точке производная не меняет знак, то - точка перегиба.

1. Асимптоты.

1. Вертикальная – проходит через точки разрыва. (н-р для функции x=0 – точка разрыва).

Наклонная асимптота - , где и .

Практическое задание

Ответьте на поставленные вопросы.

1.Каков геометрический смысл производной функции?

2.Каков признак возрастания функции?

3.Каков признак убывания функции?

4.Каков признак минимума функции?

5.Каков признак максимума функции?

6.Чему равна производная функции в точке минимума или максимума?

Исследуйте функцию и постройте ее график

1) y = (1/4)x⁴-(3/2)x²-6x+2; 2) y=3x² – 12; 3) y=x³

Критерии оценивания:

Для получения отличной оценки студент должен:

Соблюдать алгоритм выполнения задания

Соблюдать отведенное время

Работа выполнена правильно и в полном объеме

Отчет выполнен в соответствии с требованиями

При невыполнении или неправильном выполнении одного из пунктов оценка снижается на один балл

Список рекомендуемых источников

1. Дадаян, А. А. Математика : учебник / А.А. Дадаян. — 3-е изд., испр. и доп. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 544 с. — (Cреднее профессиональное образование). - ISBN 978-5-16-012592-3. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1214598 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

2. Шипова, Л. И. Математика : учебное пособие / Л.И. Шипова, А.Е. Шипов. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 238 с. — (Среднее профессиональное образование). - ISBN 978-5-16-014561-7. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1127760 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

3. Расулов, К. М. Гомонов, С. А. Математика. Линейная алгебра : учебно-справочное пособие / С. А. Гомонов, К. М. Расулов ; под общ. ред. К. М. Расулова. — Москва : ФОРУМ : ИНФРА-М, 2021. — 144 с. — (Профессиональное образование). - ISBN 978-5-91134-713-0. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1081982 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

4. Юхно, Н. С. Математика : учебник / Н.С. Юхно. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 204 с. — (Среднее профессиональное образование). — DOI 10.12737/1002604. - ISBN 978-5-16-014744-4. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1796822 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

Тема 1.3 Вычисление площадей с помощью интегралов. Приложения определенного интеграла

Практическое занятие №4

Тема: «Основные методы интегрирования»

Время на выполнение: 4 часа

Цель: Знать определение первообразной, правила вычисления интеграла, таблицу интегралов элементарных функций

Уметь выполнять интегрирование элементарных функций, заменой переменных, по частям.

Обеспечение: инструкционно-технологические карты, микрокалькуляторы

Краткие теоретические сведения:

Первообразной функцией для выражения f(x)dxназывается функция F(x), дифференциал которой равен f(x)dx. Однако дифференциалу функции соответствует не единственная первообразная, а множество их, причем они отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Совокупность всех первообразных функций F(x)+C для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегралом и обозначается . Таким образом , где f(x)dxназывается подынтегральным выражением, а С – произвольная постоянная интегрирования. Процесс нахождения первообразной называется интегрированием. Интегрирование – действие, обратное дифференцированию.

Свойства неопределенного интеграла:

1) дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: d ;

2)неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной:

;

3) постоянную величину можно вынести за знак интеграла:

4) интеграл суммы или разности функций равен сумме или разности интегралов: .

Формулы интегрирования:

1) = +C. где n≠-1; 2)

3) ; 4)

5) .

Пример 1.

dx = dx= + = + ln|x|+C.

Интегрирование способом подстановки

Пример 2

. Положим 1+x = z; продифференцируем это равенство:

.d(1+x)= dz; dx=dz; заменим в интеграле:

= = +C.

Интегрирование по частям

=f∙g -

Практическое задание

1) 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8)

9) . 10)

Критерии оценивания:

Для получения отличной оценки студент должен:

Соблюдать алгоритм выполнения задания

Соблюдать отведенное время

Работа выполнена правильно и в полном объеме

Отчет выполнен в соответствии с требованиями

При невыполнении или неправильном выполнении одного из пунктов оценка снижается на один балл

Список рекомендуемых источников

1. Дадаян, А. А. Математика : учебник / А.А. Дадаян. — 3-е изд., испр. и доп. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 544 с. — (Cреднее профессиональное образование). - ISBN 978-5-16-012592-3. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1214598 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

2. Шипова, Л. И. Математика : учебное пособие / Л.И. Шипова, А.Е. Шипов. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 238 с. — (Среднее профессиональное образование). - ISBN 978-5-16-014561-7. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1127760 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

3. Расулов, К. М. Гомонов, С. А. Математика. Линейная алгебра : учебно-справочное пособие / С. А. Гомонов, К. М. Расулов ; под общ. ред. К. М. Расулова. — Москва : ФОРУМ : ИНФРА-М, 2021. — 144 с. — (Профессиональное образование). - ISBN 978-5-91134-713-0. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1081982 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

4. Юхно, Н. С. Математика : учебник / Н.С. Юхно. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 204 с. — (Среднее профессиональное образование). — DOI 10.12737/1002604. - ISBN 978-5-16-014744-4. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1796822 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

Тема 1.4 Вычисление площадей с помощью интегралов. Приложения определенного интеграла

Практическое занятие №5

Тема: «Решение прикладных задач (Приложения определенного интеграла)»

Время на выполнение: 4 часа

Цель: Знать геометрический смысл определенного интеграла, алгоритм вычисления площади криволинейной трапеции.

Уметь вычислять площадь криволинейной трапеции

Обеспечение: инструкционно-технологические карты, микрокалькуляторы

Краткие теоретические сведения:

Приращение F(b)-F(a) любой из первообразных функций F(x)+C при изменении аргумента от x=a до x=b называется определенным интегралом и обозначается: .

= F(b)=F(a), где a- нижний предел интеграла, b- верхний предел интеграла.

Для вычисления определенного интеграла нужно найти соответствующий неопределенный интеграл, в полученное выражение подставить вместо x сначала верхний, а затем нижний пределы определенного интеграла и из первого результата вычесть второй.

= F(x)|^b_a=F(b) – F(a).

Пример 1

=sinx|^π/3₀ = sin -sin0=0,5.

Свойства определенного интеграла:

1) = C∙ , где С-постоянная величина.

2) = +

3) = -

Площадь фигуры, ограниченной кривой y=f(x) , где f(x)0, осьюOx и двумя прямымиx=a и x=b, выражается определенным интегралом .

Пример 2

Определить площадь фигуры, заключенной между ветвью кривой y=x², осью Ох и прямыми х = 0, х = 3.

S = = |³_{0 =} - _{= 9}

Практическое задание

Найти определенный интеграл:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5)

Вычислить площадь криволинейной трапеции, полученной между графиком функции y=x³и прямымиy=0, x=2, x=4.

Вычислить площадь криволинейной трапеции, полученной между графиком функции y=2cosx, прямымиy=0, x = 0, x = .

Критерии оценивания:

Для получения отличной оценки студент должен:

Соблюдать алгоритм выполнения задания

Соблюдать отведенное время

Работа выполнена правильно и в полном объеме

Отчет выполнен в соответствии с требованиями

При невыполнении или неправильном выполнении одного из пунктов оценка снижается на один балл

Список рекомендуемых источников

1. Дадаян, А. А. Математика : учебник / А.А. Дадаян. — 3-е изд., испр. и доп. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 544 с. — (Cреднее профессиональное образование). - ISBN 978-5-16-012592-3. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1214598 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

2. Шипова, Л. И. Математика : учебное пособие / Л.И. Шипова, А.Е. Шипов. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 238 с. — (Среднее профессиональное образование). - ISBN 978-5-16-014561-7. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1127760 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

3. Расулов, К. М. Гомонов, С. А. Математика. Линейная алгебра : учебно-справочное пособие / С. А. Гомонов, К. М. Расулов ; под общ. ред. К. М. Расулова. — Москва : ФОРУМ : ИНФРА-М, 2021. — 144 с. — (Профессиональное образование). - ISBN 978-5-91134-713-0. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1081982 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

4. Юхно, Н. С. Математика : учебник / Н.С. Юхно. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 204 с. — (Среднее профессиональное образование). — DOI 10.12737/1002604. - ISBN 978-5-16-014744-4. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1796822 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

Раздел 2. Основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики

Тема 2.1 Основные понятия и методы теории вероятностей

Практическое занятие №6

Тема: «Решение простейших задач теории вероятностей»

Время на выполнение: 4 часа

Цель: Знать определение вероятности, правила сложения и умножения вероятностей. Уметь решать прикладные задачи на сложение и умножение вероятностей, уметь рассчитывать вероятность событий

Обеспечение: инструкционно-технологические карты, микрокалькуляторы

Краткие теоретические сведения:

Изучение явлений связано с выполнением некоторых условий, или испытаний. Всякий результата или исход испытания называется событием. События А, В называются несовместимыми, если в условиях испытаний каждый раз возможно появление только одного события. События А и В называются совместимыми, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании.Событие называется случайным, если исход испытания приводит либо к появлению, либо к не появлению этого события.М – число появления некоторого события; N- число испытаний.

– частость.Вероятность – мера объективной возможности появления события. За появление события принимается величина, около которой группируются наблюдаемые значения частости.

Под вероятностью Р(А) наступления события принимается отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению данного события, к числу исходов испытания. Вероятность – устойчивая частость. P(A)= 100%

Теорема сложения вероятностей. Вероятность наступления одного из нескольких несовместимых событий без указания какого именно, равно сумме вероятностей этих событий.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности наступления первого события на условную вероятность наступления второго события, вычисленную в предположении, что первое событие имеет место.

Пример 1. В ящике 20 шаров, среди которых 8 белых. Какова вероятность появления белого шара Р(А)?

. m=8; n=20. P(A)= 100%=100%=40%

Пример 2. Поездка пассажиров с некоторой трамвайной остановки к месту работы обслуживаются маршрутами №3 и №11. Через данную остановку проходят трамваи пяти маршрутов. Известно, что из 40 трамваев 8 – маршрута №3, 10 – маршрута №11. Найти вероятность того, что первый проходящий трамвай будет соответствовать требуемому маршруту.

.m₁=8 m₂=10 n=40 P(№3, №11)= 100%=100%=8%

Пример 3. В одной урне 10 шаров, из которых 5 белых, в другой – 12 шаров, из которых 8 белых. Найти вероятность того, что при одном испытании будут выбраны одновременно из первой и второй урны два шара одновременно.

.m₁=5 n₁=10 m₂=8 n₂=12 P(AB)=P(A)*P(B) = * *100%

P(AB)=**100%= *100%≈33%

Практическое задание

1. Из 10 билетов лотереи выигрышными являются два. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов два выигрышных?

2. Восемь различных книг расставляют наугад на одной полке. Какова вероятность того, что две определенные книги окажутся рядом?

3. В партии из 12 деталей имеется 9 стандартных. Найдите вероятность того, что среди семи взятых наугад деталей 6 стандартных.

4. Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет не менее двух очков?

5. Из 50 электролампочек имеется 4 бракованных. Какова вероятность того, что две взятые наугад лампочки окажутся бракованными?

6. В книжном магазине на полке лежит 20 книг, причем 10 книг стоят по 200 руб. каждая, 3 книги - по 400 рублей и 7 книг – по 100 рублей. Найти вероятность того, что взятые наугад две книги стоят 300 рублей.

7.В магазин поступала партия товара в количестве 100 штук, которая содержит 10 штук бракованного товара. Какова вероятность того, что покупатель выберет две штуки товара и обе бракованные?

8. В магазин поступило несколько 20 партий товара. Из них две – товары фирмы А, 3- фирмы Б, остальные товары фирмы С. Какова вероятность того, что первые две продажи выпадет на товары фирмы С?

Критерии оценивания:

Для получения отличной оценки студент должен:

Соблюдать алгоритм выполнения задания

Соблюдать отведенное время

Работа выполнена правильно и в полном объеме

Отчет выполнен в соответствии с требованиями

При невыполнении или неправильном выполнении одного из пунктов оценка снижается на один балл

Список рекомендуемых источников

1. Дадаян, А. А. Математика : учебник / А.А. Дадаян. — 3-е изд., испр. и доп. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 544 с. — (Cреднее профессиональное образование). - ISBN 978-5-16-012592-3. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1214598 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

2. Шипова, Л. И. Математика : учебное пособие / Л.И. Шипова, А.Е. Шипов. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 238 с. — (Среднее профессиональное образование). - ISBN 978-5-16-014561-7. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1127760 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

3. Расулов, К. М. Гомонов, С. А. Математика. Линейная алгебра : учебно-справочное пособие / С. А. Гомонов, К. М. Расулов ; под общ. ред. К. М. Расулова. — Москва : ФОРУМ : ИНФРА-М, 2021. — 144 с. — (Профессиональное образование). - ISBN 978-5-91134-713-0. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1081982 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

4. Юхно, Н. С. Математика : учебник / Н.С. Юхно. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 204 с. — (Среднее профессиональное образование). — DOI 10.12737/1002604. - ISBN 978-5-16-014744-4. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1796822 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

Раздел 3. Основные понятия и методы линейной алгебры

Тема 3.1 Основные понятия и методы линейной алгебры

Практическое занятие №7

Тема: «Действия с матрицами»

Время на выполнение: 4 часа

Цель: Знать определение матрицы, виды матрицы, правила выполнения действий над матрицами

Уметь выполнять сложение, вычитание и умножение матриц

Обеспечение: инструкционно-технологические карты, микрокалькуляторы

Краткие теоретические сведения:

Матричные модели представляют собой модели, построенные в виде таблиц (матриц).Эти модели находят широкое применение при решении плановых или экономических задач и при обработке больших массивов информации. Матрица – прямоугольная таблица чисел. Например:

Эти данные можно записать в виде матрицы (*)

= А (*)

Коэффициенты при неизвестных системы линейных уравнений

3x-5y+z=14

X+3y-7z=-22

2x+y-3z=-6 можно записать в виде матрицы (**)

= А (**)

Матрица-прямоугольная таблица чисел. Любое число такого массива называется элементом матрицы. Ряд чисел, расположенных в матрице горизонтально называется строкой, а вертикально – столбцом. Количество строк – m, количество столбцов – n, если m=n – матрица квадратная

Размерность матрицы – количество элементов в ней.

А=

Воображаемая линия квадратной матрицы, пересекающая ее от а₁₁ до а_mn называется главной диагональю.Квадратная матрица, в которой все элементы, кроме расположенных на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.Диагональная матрица, у которой все элементы, расположенные по главной диагонали – единицы, называется единичной.

Матрица, состоящая из одного столбца, называется вектор-столбцом.

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строкой.

Суммой (разностью) двух матриц А и В, имеющих mстрок иnстолбцов, называется матрица, полученная в результате сложения (вычитания) одноименных элементов матриц А и В. Получаемая в результате матрицы С имеет ту же размерность m*n.

Матрицу можно умножить на число, для этого надо на это число умножить каждый элемент матрицы.

Умножение матрицы-строки на матрицу-вектор:

A=(a1, a2, a3) –вектор-строка.

В= | | - вектор-столбец

С=А*В = a₁∙b₁+ a₂∙b₂+a₃∙b₃ =

Произведением двух матриц - матрицы А(m∙n) на матрицу B(n∙p) – называется матрицаC(m∙p), каждый элемент которой вычисляется по

n

формуле: С_ij = ∑a_ik∙b_kj

k=1

Практическое задание

1. Сложить матрицы| = А; | | = B.

2.Вычесть из матрицы А матрицу В: A=| |; B=| |.

3. Умножить матрицу А на матрицу В:A= | 2 3 4 |; B=| | .

4. Сложить, вычесть и умножить каждую матрицу на 5 :

А) А = и В = б) А = В =

Критерии оценивания:

Для получения отличной оценки студент должен:

Соблюдать алгоритм выполнения задания

Соблюдать отведенное время

Работа выполнена правильно и в полном объеме

Отчет выполнен в соответствии с требованиями

При невыполнении или неправильном выполнении одного из пунктов оценка снижается на один балл

Список рекомендуемых источников

1. Дадаян, А. А. Математика : учебник / А.А. Дадаян. — 3-е изд., испр. и доп. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 544 с. — (Cреднее профессиональное образование). - ISBN 978-5-16-012592-3. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1214598 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

2. Шипова, Л. И. Математика : учебное пособие / Л.И. Шипова, А.Е. Шипов. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 238 с. — (Среднее профессиональное образование). - ISBN 978-5-16-014561-7. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1127760 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

3. Расулов, К. М. Гомонов, С. А. Математика. Линейная алгебра : учебно-справочное пособие / С. А. Гомонов, К. М. Расулов ; под общ. ред. К. М. Расулова. — Москва : ФОРУМ : ИНФРА-М, 2021. — 144 с. — (Профессиональное образование). - ISBN 978-5-91134-713-0. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1081982 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

4. Юхно, Н. С. Математика : учебник / Н.С. Юхно. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 204 с. — (Среднее профессиональное образование). — DOI 10.12737/1002604. - ISBN 978-5-16-014744-4. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1796822 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

Тема 3.2 Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Практическое занятие №8

Тема: «Решение систем линейных алгебраических уравнений различными способами»

Время на выполнение: 4 часа

Цель: Знать алгоритм решения систем уравнений методом Крамера и Гаусса

Уметь решать системы уравнений с тремя неизвестными методом Крамера

Обеспечение: инструкционно-технологические карты, микрокалькуляторы

Краткие теоретические сведения:

Задана система N линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с   неизвестными, коэффициентами при которых являются элементы матрицы  , а свободными членами - числа

П ервый индекс  возле коэффициентов  указывает в каком уравнении находится коэффициент, а второй  - при котором из неизвестным он находится.

Если определитель матрицы  не равен нулю

т о система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение. Решением системы линейных алгебраических уравнений называется такая упорядоченная совокупность   чисел  , которая при  превращает каждое из уравнений системы в правильную равенство. Если правые части всех уравнений системы равны нулю, то систему уравнений называют однородной. В случае, когда некоторые из них отличны от нуля – неоднородной Если система линейных алгебраических уравнений имеет хоть одно решение, то она называется совместной, в противном случае - несовместимой. Если решение системы единственное, то система линейных уравнений называется определенной. В случае, когда решение совместной системы не единственное, систему уравнений называют неопределенной. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (или равносильными), если все решения одной системы является решениями второй, и наоборот. Эквивалентны (или равносильны) системы получаем с помощью эквивалентных преобразований.

Эквивалентные преобразования СЛАУ

1) перестановка местами уравнений;

2) умножение (или деление) уравнений на отличное от нуля число;

3) добавление к некоторого уравнения другого уравнения, умноженного на произвольное, отличное от нуля число.

Решение СЛАУ можно найти разными способами, например , по формулам Крамера (метод Крамера)

Теорема Крамера.  Если определитель  системы   линейных алгебраических уравнений с   неизвестными отличен от нуля  то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера: - определители, образованные с   заменой  -го столбца, столбцом из свободных членов.

Если  , а хотя бы один из   отличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет. Если же  , то СЛАУ имеет множество решений.

Задача 1.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Крамера

Р ешение.

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных

Так как  , то заданная система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители:

По формулам Крамера находим неизвестные

Итак  единственное решение системы.

Практическое задание

Решите систему уравнений по формулам Крамера

ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2

Критерии оценивания:

Для получения отличной оценки студент должен:

Соблюдать алгоритм выполнения задания

Соблюдать отведенное время

Работа выполнена правильно и в полном объеме

Отчет выполнен в соответствии с требованиями

При невыполнении или неправильном выполнении одного из пунктов оценка снижается на один балл

Список рекомендуемых источников

1. Дадаян, А. А. Математика : учебник / А.А. Дадаян. — 3-е изд., испр. и доп. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 544 с. — (Cреднее профессиональное образование). - ISBN 978-5-16-012592-3. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1214598 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

2. Шипова, Л. И. Математика : учебное пособие / Л.И. Шипова, А.Е. Шипов. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 238 с. — (Среднее профессиональное образование). - ISBN 978-5-16-014561-7. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1127760 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

3. Расулов, К. М. Гомонов, С. А. Математика. Линейная алгебра : учебно-справочное пособие / С. А. Гомонов, К. М. Расулов ; под общ. ред. К. М. Расулова. — Москва : ФОРУМ : ИНФРА-М, 2021. — 144 с. — (Профессиональное образование). - ISBN 978-5-91134-713-0. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1081982 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

4. Юхно, Н. С. Математика : учебник / Н.С. Юхно. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 204 с. — (Среднее профессиональное образование). — DOI 10.12737/1002604. - ISBN 978-5-16-014744-4. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1796822 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

Раздел 4. Теория комплексных чисел

Тема 4.1 Теория комплексных чисел. Действия над комплексными числами

Практическое занятие №9

Тема: «Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме»

Время на выполнение: 4 часа

Цель: сформировать навыки изображения и записи комплексного числа в алгебраической и тригонометрической форме;

сформировать навыки проведения простых действий

Обеспечение: инструкционно-технологические карты, микрокалькуляторы

Краткие теоретические сведения:

Комплексное число – это выражение вида

, (1.1)

где x, y – вещественные числа, а – мнимая единица.

x - вещественная (действительная) часть комплексного числа (используется обозначение );

y - мнимая часть ( ).

Выражение (1.1) называют алгебраической формой записи комплексного числа.

Числом, сопряженным к , называют число вида . Используя формулу разности квадратов, получаем, что . Можно доказать, что корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом являются два сопряженных комплексных числа.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Дискриминант данного уравнения: меньше нуля, но теперь мы можем воспользоваться мнимой единицей:

, т.е. ; .

Арифметические действия над комплексными числами

1) Сложение (вычитание) комплексных чисел:

;

2) Умножение комплексных чисел:

(осуществляется с учетом того, что );

3) Деление комплексных чисел:

(эта операция возможна только в случае, когда ).

Пример 2. Вычислить и указать вещественную и мнимую части полученного комплексного числа.

Решение. Действуя в соответствии с правилами получаем:

;

поэтому , .

Тригонометрическая форма комплексного числа. Каждому комплексному числу вида (1.1) можно поставить в соответствие точку M(x;y) на декартовой плоскости (при этом на оси OX располагаются вещественные числа , а на оси OY – чисто мнимые числа ). Вектор OM считают изображением комплексного числа.

Модулем комплексного числа назовем длину отрезка (или расстояние от начала координат до точки M), т.е. . Аргументом комплексного числа ( ) назовем угол, который вектор образует с положительным направлением оси OX. Главное значение аргумента, которое, как правило, используется при осуществлении действий с комплексными числами, удовлетворяет условию . При этом выражение вида

(1.2)

называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Преобразуем (1.1)

и, сравнивая с (1.2), получаем, что аргумент z можно найти, решив систему

или (1.3.)

Пример 3. Записать комплексное число в тригонометрической форме _{, указать модуль и аргумент комплексного числа.}

Решение. По определению . Для определения аргумента воспользуемся формулой: . Получаем, что . Тригонометрическая форма заданного комплексного числа имеет вид: .

Возведение в степень и извлечение корней. Если комплексное число задано тригонометрической формой , то справедлива формула Муавра

. (1.4)

Для извлечения корня n-й степени (n – целое число, большее 1) из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, применяется формула, дающая n значений этого корня:

, k=0,1,…,n-1. (1.5)

Пример 4. Вычислить: a) ; b) .

Решение. В задании a), чтобы воспользоваться формулой Муавра, необходимо представить комплексное число в тригонометрической форме. Имеем: ; и , т.е. (так как соответствующая точка лежит во второй четверти). Следовательно, и (в силу (1.4)). Учитывая что и используя свойства тригонометрических функций, получаем:

.

В задании b) тригонометрическая форма заданного числа имеет вид (|z|=1), поэтому в силу (1.5)

, k=0,1,2.

Выписываем три искомых корня:

;

;

.

Практическое задание

Задание 1. Вычислить, выписать вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7)

Задание 2. Запишите предложенные комплексные числа в тригонометрической форме: 1) ; 2) ; 3) ; 4) _{5) 6) 7)} .

Задание 3. Найти все корни уравнений:

1) ; 2) ; 4) ; 5) ; 6) 7)

Критерии оценивания:

Для получения отличной оценки студент должен:

Соблюдать алгоритм выполнения задания

Соблюдать отведенное время

Работа выполнена правильно и в полном объеме

Отчет выполнен в соответствии с требованиями

При невыполнении или неправильном выполнении одного из пунктов оценка снижается на один балл

Список рекомендуемых источников

1. Дадаян, А. А. Математика : учебник / А.А. Дадаян. — 3-е изд., испр. и доп. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 544 с. — (Cреднее профессиональное образование). - ISBN 978-5-16-012592-3. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1214598 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

2. Шипова, Л. И. Математика : учебное пособие / Л.И. Шипова, А.Е. Шипов. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 238 с. — (Среднее профессиональное образование). - ISBN 978-5-16-014561-7. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1127760 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

3. Расулов, К. М. Гомонов, С. А. Математика. Линейная алгебра : учебно-справочное пособие / С. А. Гомонов, К. М. Расулов ; под общ. ред. К. М. Расулова. — Москва : ФОРУМ : ИНФРА-М, 2021. — 144 с. — (Профессиональное образование). - ISBN 978-5-91134-713-0. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1081982 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.

4. Юхно, Н. С. Математика : учебник / Н.С. Юхно. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 204 с. — (Среднее профессиональное образование). — DOI 10.12737/1002604. - ISBN 978-5-16-014744-4. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1796822 (дата обращения: 16.03.2022). – Режим доступа: по подписке.