Практическое использование метода размерностей при решениеи заданий гиа по математике

Клюева Т.Г.,

учитель математики МАОУ «Лицей «Солярис», г. Саратов

Клюев А.В.,

учитель физики МАОУ «Лицей «Солярис», г. Саратов

ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА РАЗМЕРНОСТЕЙ ПРИ РЕШЕНИЕИ ЗАДАНИЙ ГИА ПО МАТЕМАТИКЕ

Аннотация. В статье рассматриваются вопросы применения метода размерностей при решении задач по математике. Данный метод является актуальным, так как может эффективно использоваться при подготовке учащихся к государственной итоговой аттестации.

Ключевые слова: задачи по математике, физике, применение метода размерностей.

В физике... нет места для путаных мыслей…
Действительно понимающие природу
Того или иного явления должны получать основные
Законы из соображений размерности. 

Э. Ферми

Метод размерностей, о котором мы хотим вам рассказать, освещается в школе, частично. Это связано либо из-за недостатка времени, а во многом - из-за недостатка уровня, как преподавания физики, так и математики, хотя данный метод применяется в физике еще со времен Ньютона.

Идея 1: яблоки и сливы. Яблоки нельзя складывать со сливами или арбузами. Эта простая мысль лежит в основе теории размерности. Размерность физической величины - это единица измерения, в которой эта величина измеряется. Упражнение 1. Как вы думаете, что больше: 2 яблока + 3 арбуза, или 4 яблока + 1 арбуз? Почему яблоки нельзя складывать со сливами или арбузами? Потому, что приравнивать корзину, в которой 2 яблока и 3 арбуза, корзине, в которой 4 яблока и 1 арбуз, было бы неестественно: 2 яблока + 3 арбуза = 5 непонятно чего = 5 непонятно чего = 4 яблока + 1 арбуз.

Идея 2: 3×яблоко. Давайте внимательно рассмотрим, что значит задание какой-либо «размерной величины». Например, что такое «5 метров». «5 метров» - это 5 раз по 1 метру (1м). То есть, это умножение числа 5 на 1 метр: 5 метров = 5 метр = 1 м + 1 м + 1 м + 1 м + 1 м = 5 · 1 м = 5 · м = 5 м

«Размерная величина» X — это произведение «просто числа» («числовая часть» обозначим её {X}) на единицу измерения (обозначим её [X]), тогда X = {X} · [X]. Например, X = 5 · м = 5 м, тогда {X} = 5, [X] = м. «Просто число» считается «безразмерным» — его единица измерения просто 1. Y = 5 = 5 · 1, тогда {Y} = 5, [Y] = 1. Обычай не писать знак умножения прижился в алгебре потому, что в выражении типа 5x буква x играет ту же роль, что и единица измерения. Вообще, правила обращения с единицами измерения такие же, как правила обращения с буквами в алгебре.

Операции с единицами измерения. При умножении и делении единицы измерения также умножаются и делятся. Например, 10 м · 3 м = (10 · 3) · (м · м) = 30 м² , 60 м/12 с = (60/12) · (м/с) = 5 м/с.

При правильном вычислении правильные единицы измерения получаются сами собой. Например, если все длины даны в метрах, то все площади неизбежно окажутся выражены в метрах квадратных, вне зависимости от того площади каких фигур по каким формулам вычисляются, а все объёмы - в метрах кубических. Деление одной единицы измерения на другую часто обозначается предлогами «в», «на», «за». Например, [скорость] = м/с = метр разделить на секунду = метр в секунду (единица скорости), [плотность] = кг/м³ = килограмм разделить на метр в кубе = килограмм на метр кубический = килограмм в кубическом метре (единица плотности).

При переходе от одних единиц измерения к другим надо «старые» единицы измерения выразить через «новые» и подставить эти выражения в формулу. Например: 3 м ² = 3 · (100 · см)² = 3 × 100² · см² = 30000 см² .

60 км/ч = 60 · (1000 · м)/(60 · мин) = (60 × 1000/60) · (м/мин) = 1000 м/мин.

Правильное задание размерности (единицы измерения) величины позволяет сразу определить, как будет меняться величина, если единицы измерения поменяются.

Определение: размерность – это выражение (без числовых коэффициентов), зависимости величины от основных величин системы, в виде произведения степеней сомножителей, соответствующих основным величинам.

Этот метод очень эффективен для восстановления забытых формул, получения качественных зависимостей между величинами и, конечно, выполнения некоторых заданий из ОГЭ или ЕГЭ. Так как последнее наиболее актуально для нас, то мы хотим вас познакомить с этим методом на примере решения заданий из сборника ОГЭ по математике 2021, под редакцией И.В. Ященко.

Пример 1.

Решение.

Для решения этого задания применим метод пропорций и выразим искомую величину: q_1=Fr²/kq_2.

Далее, используя метод размерностей, проверим справедливость данной формулы, для этого подставим размерность величин без числовых коэффициентов:

[q]_си=Нм² (Кл)²/Нм²Кл=Кл - верно.

Полученная формула, верна можно подставить числовые значения величин и произвести расчет.

Пример 2.

Решение.

Для решения этой задачи, впрочем, как и остальных, будем использовать тот же алгоритм.

Из формулы закона Джоуля – Ленца выражаем сопротивление: R=Q/I²t.

Далее, снова используем метод размерностей: [R]_си=Дж /А²·с= В·А·с/ А²·с=В/А=Ом - верно.

Пример 3.

Решение.

Выражая из исходной формулы радиус получаем: R=а/ɷ²_. Подставим размерность величин и проверим справедливость полученной формулы: [R]_си=м·с²/с²=м – верно.

Приведем пример применения метода размерностей для решения задач из тренировочного варианта ЕГЭ-2021.

Пример 4.

Решение.

Из формулы закона Гука, выразим абсолютное удлинение и проверим полученную формулу методом размерностей.

Получаем: x=F/k, проверяем: [x]_си=Н·м /Н =м – верно.

Подведем итоги и сделаем выводы:

1. Метод размерностей позволяет качественно решить задачу.

2. В некоторых случаях метод размерностей является единственным способом решить задачу и хотя бы оценить ответ.

3. Решение задач методом размерностей является дополнительным или вспомогательным методом, позволяющим лучше понять взаимодействие величин, их влияние друг на друга.

Этот метод наглядно показывает, каким образом, используя элементы физики, в курсе математики, можно решать задачи быстрее и качественнее, поэтому требует более детального изучения и внедрения в школьный курс математики.

Используемые ресурсы

1. ОГЭ. Математика. 10 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ/ И.Р. Высоцкий, Л.О. Рослова, Л.В. Кузнецова, В.А. Смирнов, А.В. Хачатурян, С.А. Шестаков, Р.К. Гордин, А.С. Трепалин, А.В. Семенов, П.И. Захаров; под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2021. - 79 с. (Серия «ОГЭ. Тесты от разработчиков»). ISBN 978-5-377-16120-2.

2.https://school-mosreg.ru.com/ege/matematika/trenirovka-baza-2021-3/ (дата доступа: 09.12.2020)

3.https://mipt.ru/students/organization/mezhpr/upload/3e4/estestvo-b009-arphor8tkzc.pdf (дата доступа: 09.12.2020)