Практикум по математике "Метод областей"

Для успешного исследования на плоскости многих задач с параметрами может быть использован метод областей – полезный приём, в некотором смысле обобщающий известный метод интервалов. Поясним его на примерах.

Пример №1.

Укажите множество точек плоскости (х;у), удовлетворяющих неравенству (х – у) ·(х² – у – 4) ≥ 0.

Решение: обозначим левую часть неравенства через f(х;у), т. е.

f(х;у) = (х – у) ·(х² – у – 4).

1 шаг. f(х;у) определено при любых х R и любых значениях у R.

2 шаг. Найдём множества точек координатной плоскости, для которых f(х;у) обращается в нуль

(х – у) ·(х² – у – 4) = 0

х – у = 0 или х² – у – 4 = 0

у = х    у = х² – 4

Первое из уравнений определяет прямую, второе параболу.

Построим графики этих уравнений в прямоугольной системе координат.

Прямая и парабола разбивают всю плоскость на пять областей, в каждой из которых f(х;у) сохраняет постоянный знак, поэтому для определения.

Рисунок 1.

Знака f(х;у) в какой-либо области достаточно знак этой функции в какой-нибудь (любой) точке из этой области.

Например из области II возьмём точку с координатами (0;3) и подставим в выражение:

f(0;3) = (0-3) (0-3-4) = -3·(-7) = 21>0

следовательно, исходное выражение во всех точках области II будет положительно. Аналогичным образом определяются знаки функции f(х;у) во всех остальных областях.

Ответом является множество точек представленных на рисунке 2.

Рисунок 2

Пример №2.

Найдите все значения а, при каждом из которых система имеет хотя бы одно решение.

Весь материал - в документе.

Метод областей.

Для успешного исследования на плоскости многих задач с параметрами может быть использован метод областей – полезный приём, в некотором смысле обобщающий известный метод интервалов. Поясним его на примерах.

Пример №1. Укажите множество точек плоскости (х;у), удовлетворяющих неравенству (х – у)·(х² – у – 4) ≥ 0.

Решение: обозначим левую часть неравенства через f(х;у), т.е.

f(х;у) = (х – у)·(х² – у – 4).

1 шаг. f(х;у) определено при любых х R и любых значениях у R.

2 шаг. Найдём множества точек координатной плоскости, для которых f(х;у) обращается в нуль

(х – у)·(х² – у – 4) = 0

х – у = 0 или х² – у – 4 = 0

у = х у = х² – 4

Первое из уравнений определяет прямую, второе параболу. Построим графики этих уравнений в прямоугольной системе координат.

Прямая и парабола разбивают всю плоскость на пять областей, в каждой из которых f(х;у) сохраняет постоянный знак, поэтому для определения

Рисунок 1

Знака f(х;у) в какой-либо области достаточно знак этой функции в какой-нибудь (любой) точке из этой области. Например из области II возьмём точку с координатами (0;3) и подставим в выражение:

f(0;3) = (0-3)(0-3-4) = -3·(-7) = 210

следовательно, исходное выражение во всех точках области II будет положительно. Аналогичным образом определяются знаки функции f(х;у) во всех остальных областях.

Ответом является множество точек представленных на рисунке 2.

Рисунок 2

Пример №2. Найдите все значения а, при каждом из которых система имеет хотя бы одно решение.

Изобразим множество решений неравенства 1) в системе координат хоа, используем метод областей:

Прямые и разбивают координатную плоскость на 4 области, в каждой из которых определяет знак квадратного трёхчлена: f(х;а) = х² + (5а + 2)х + 4а² + 2а.

Рисунок №3

Области, являющиеся решением первого неравенства отмечены штриховкой.

Второе уравнение системы (2) определяет окружность, центр которой находится в начале координат и радиусом 2. Решениями системы на плоскости (х;а) являются дуги этой окружности, проходящие по заштрихованным областям.

Найдём координаты точек пересечения окружности с прямыми.

а) б)

(4а+2)² + а² = 4 а² + а² = 4

17а² + 16а = 0

а = 0; а = (абсциссы точек пересечения можно не находить).

Итак, система имеет решения при а

Пример №3. Найдите все значения а, для каждого из которых неравенство

ах² – 4х + 3а + 1 0 выполняется для любого х [ - 2; 0].

Решение.

1. Изобразим множество решений неравенства в системе координат хоа, используем метод областей:

ах² – 4х + 3а + 1 = 0 выразим а через х.

а(х² + 3) = 4х – 1; построим график этой функции, используем производную.

а) если х →±∞, то а →0.

б) х = – нуль функции.

в) а =

2х² – х – 6 = 0

Х₁ = -3/2

Х₂ = 2

Рисунок №4

Эта кривая разбивает плоскость на две области, в каждой из которых определяем знак функции f(x;a)=ах² – 4х + 3а + 1, f(0;0) = 1 0.

1. Множество точек, удовлетворяющих условию х [-2;0] на координатной плоскости (ха) представляет множество точек, расположенных между прямыми х = -2 и х = а.

Из рисунка видно, что неравенство ах² – 4х + 3а + 10 будет выполняться при х [-2;0], если а

Х = 0

0 – 0 + 3а +1 0; 3а -1; а - 1/3

Ответ: при а .

Пример №4. Для каждого b [ - 3;2] найдите наименьшее значение величины х², где х – решение неравенства .

Решение: введём f(x;b) =

1. ОДЗ: x – 2b ≥ 0

b ≤ 1/2х

1. Нули:

b = x/2 или x = - 2

На координатной плоскости (х;b) отметим штриховкой решения неравенства, применяя метод областей.

Если х = - 2, то b = - 1.

f (0;-2) =

f (-3;-5) =

Рисунок №5

Отсюда получаем ответ:

Пример №5. При каждом значение параметра решите неравенство:

Решение: введём функцию

ОДЗ:

Найдём нули:

X₁=1; x₂=3

На координатной плоскости (х;а) проведём прямые х=1; х=3 (с учётом ОДЗ) и определим знак f(x;a) в каждой из полученных областей.

Рисунок №6

На координатной плоскости (х;а) отмечаем штриховкой решения неравенства и исходя из этого записываем ответ:

Если a x [1;3]

Если 0 ≤ a x [1; 2 - а) U (а + 2;3]

Если а = 1, то решений нет

Если 1 a x (2 – а; 1] U [3; а + 2)

Если a ≥ 5/4, то x (3/4; 1] U [3; а + 2)

Литература

1. О.Ю.Черкасов, А.Г.Якушев. Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену. Айрис Рольф, Москва, 1997г.

2. Олимпиадные задачи. МИФИ. Под редакцией О.В.Нагорного, Москва 2010.