Презентация к исследовательской работе по математике "Система быстрого счета"

Актуальность.

На уроках, да и в повседневной жизни постоянно возникает необходимость различных вычислений, которые необходимо выполнить быстро, правильно и удобным способом, т. е. рационально. Навыки рационального счета позволяют повысить быстроту и точность вычислений, эффективность труда, способствуют снижению утомляемости, развитию внимания и памяти,  логического мышления, более прочному усвоению не только предмета математики, но и информатики, технологии, истории и других учебных дисциплин, поэтому для исследовательской работы я выбрала тему «Система быстрого  счета». Мне интересно их освоить и применять самой, а также поделиться своими наработками со сверстниками.

Цель проекта:

Найти, изучить, применить на практике  приемы быстрого счета;

Познакомить с приемами быстрого счета одноклассников.

Задачи:

Расширить знания по теме «Натуральные числа».

Научиться собирать информацию, выделять главное, делать выводы.

Гипотеза:

Существуют специальные способы выполнения действий, которые позволяют свести вычисления к устным, рассчитанные на ум «обычного» человека и не требующие уникальных способностей.

Формальное определение натуральных чисел в XIX веке сформулировал итальянский математик Джузеппе Пеано. Он внёс вклад в математическую логику, аксиоматику, философию математики.

«1 есть натуральное число»;

«следующее за натуральным числом есть натуральное число»;

«1 не следует ни за каким натуральным числом»;

«всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом»;

Аксиома полной индукции.

МОБУ «СОШ №7»

ТЕМА исследовательской работы «Система быстрого счета»

    Автор: Подгорбунская Кристина , 6 класс Руководитель: Черныш Т.В., учитель математики МОБУ «СОШ №7»

«Счет, вычисления – основа порядка в голове»

Песталоцци

Цель проекта:

• Найти, изучить, применить на практике приемы быстрого счета;
• Познакомить с приемами быстрого счета одноклассников.

Задачи

• Расширить знания по теме «Натуральные числа».
• Научиться собирать информацию, выделять главное, делать выводы.

Натуральные числа

Вывод: Из найденных определений следует, что название «натуральные» числа получили благодаря природе.

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:

• перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …);
• обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …).

Джузеппе Пеано (Giuseppe Peano; 1858—1932) — итальянский математик

Формальное определение натуральных чисел в XIX веке сформулировал итальянский математик Джузеппе Пеано. Он внёс вклад в математическую логику, аксиоматику, философию математики.

Аксиомы Пеано

• «1 есть натуральное число»;
• «следующее за натуральным числом есть натуральное число»;
• «1 не следует ни за каким натуральным числом»;
• «всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом»;
• Аксиома полной индукции.

Математическая индукция

Математическая индукция — в математике — один из методов доказательства. Используется, чтобы доказать истинность некоего утверждения для всех натуральных чисел. Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино.

Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку. Тогда, если мы толкнём первую косточку, то все косточки в ряду упадут.

«Человек-счётчик» Герт Митринг

Его называют современным Пифагором, математическим гением и человеком-калькулятором. Герт Митринг, попавший в Книгу рекордов Гиннесса за феноменально быстрые вычисления в уме, рассказал о своём новом сборнике советов по устному счёту и раскрыл несколько профессиональных секретов

Извлечь корень 13 степени из стозначного числа немецкому математику Герту Митрингу удалось всего за 11,8 секунды, что почти на две секунды быстрее официального рекорда француза Алексиса Лемэра. В мире цифр, как и в мире спорта, это разгромный результат. Начиная с 2004 года Митринг принимает участие в чемпионатах мира по устному счёту. Скорее ради развлечения, а не для того, чтобы показать себя. Но вот уже девять лет ему удаётся сохранять за собой титул самого быстрого на планете «человека-счётчика».

Камерон Томпсон

• Камерон Томпсон — математический гений из Северного Уэльса. Когда ему было четыре года, он поправил своего учителя, сказавшего, что нуль является наименьшим числом, заявив, что тот забыл об отрицательных числах. В возрасте 11-ти лет он получил степень по математике в Открытом университете Великобритании. В том же возрасте мальчик успешно сдал два выпускных экзамена в математической школе и был показан по ВВС как один из гениальных подростков. К сожалению, у Камерона есть трудности в учёбе из-за болезни Аспергера, но, тем не менее, он является одним из юных математических гениев в мире.

Джейкоб Барнетт

• Джейкоб Барнетт — американский математик. Когда ему было два года, ему поставили диагноз — тяжёлый аутизм: врачи говорили, что тот не сможет говорить, читать и совершать мелкие бытовые действия. В три года оказалось, что врачи крупно ошиблись — Джейкоб мог рассказать алфавит в прямом и обратном порядке.
• В этом же возрасте во время посещения планетария Джейкоб ответил на вопрос ведущего о том, почему луны Марса такой странной формы. Он поступил в Университет Индианы в Индианаполисе в возрасте 10-ти лет.
• Во время работы над своей докторской диссертацией Барнетт утверждал, что в один прекрасный день сможет опровергнуть теорию относительности Эйнштейна. В настоящее время он работает над диссертацией в области квантовой физики.

Марк Тянь Боэдихарджо

• Марк Тянь Боэдихарджо родился в Гонконге, он — самый молодой человек, поступивший в Гонконгский университет: ему тогда было девять лет. Он учился по специальной программе, где особое внимание уделялось математике и статистике, в то же время он сдал в школе восемь выпускных экзаменов. Сейчас у Марка есть два диплома, степень бакалавра в области математических наук и магистра философии в области математики, которую он получил в 2011-м году — на год раньше, чем предусматривает учебный план. В настоящее время он получает степень доктора философии математики в Соединенных Штатах.

Приянши Сомани

• Приянши Сомани из Индии обладает удивительной способностью проводить в уме сложнейшие математические вычисления. В шесть лет она освоила устный счёт, а в 11 заняла первое место на соревновании «Mental Calculation World Cup»: Приянши обошла 36 других конкурентов из 16-ти стран, вычислив квадратный корень из десяти шестизначных чисел за рекордные 6 минут и 51 секунду. В довершение всего, она оказалась единственным участником в истории конкурса, не допустившим ни одной ошибки при сложении, умножении и извлечении квадратных корней.
• Приянши стала новым мировым рекордсменом в извлечении квадратных корней в уме в январе 2012-го года, когда вычислила квадратный корень из десяти шестизначных чисел за 2 минуты и 43 секунды.

Марк Вишня-мальчик вундеркинд!

• У Марка феноменальная память. Пролистав книгу, он может ее пересказать. В обращении с цифрами также совершенно свободен. Таблицу умножения выучил в два года. В три года стал героем проекта «Минута славы» на «Первом канале». Он решал математические примеры в уме быстрее, чем с ними справлялись члены жюри при помощи калькулятора. Сейчас Марку семь лет, и он первоклассник екатеринбургской гимназии.

Эксперемент.

НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ Я УЗНАЛА, ЧТО ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ БЫСТРО ПРОИЗВОДИТЬ ВЫЧИСЛЕНИЯ В УМЕ, НАДО ЗНАТЬ НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ УСТНОГО СЧЕТА. ЗНАНИЕ УПРОЩЕННЫХ ПРИЕМОВ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОСОБЕННО ВАЖНО В ТЕХ СЛУЧАЯХ, КОГДА ВЫЧИСЛЯЮЩИЙ НЕ ИМЕЕТ В СВОЕМ РАСПОРЯЖЕНИИ ТАБЛИЦ И КАЛЬКУЛЯТОРА. ИЗУЧИВ В ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКАХ ПРИЕМЫ УСТНОГО СЧЕТА, Я ОТОБРАЛА САМЫЕ РАСПРОСТРАНЕННЫЕ И ОБЩЕДОСТУПНЫЕ. ПО СОГЛАСОВАНИЮ С УЧИТЕЛЕМ МАТЕМАТИКИ Я СОСТАВИЛА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ И ПРОВЕЛА ЕГО В СВОЕМ КЛАССЕ. ГЛАВНОЕ УСЛОВИЕ – ВСЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ РЕБЯТА ДОЛЖНЫ ПРОВОДИТЬ В УМЕ, А ЗАПИСЫВАТЬ ТОЛЬКО РЕЗУЛЬТАТ. ЗАТЕМ Я ПОКАЗАЛА ОДНОКЛАССНИКАМ ТЕ ПРИЕМЫ, КОТОРЫЕ МОЖНО БЫЛО ПРИМЕНИТЬ, И ВНОВЬ ПРОВЕЛА ПОДОБНЫЙ ДИКТАНТ. В ХОДЕ ЭКСПЕРИМЕНТА УСТАНОВЛЕНО, ЧТО СКОРОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЫШЕ, А ОШИБОК ДОПУЩЕНО МЕНЬШЕ У УЧАЩИХСЯ, КОТОРЫЕ ИЗУЧИЛИ НОВЫЕ СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ. В ХОДЕ ИССЛЕДОВАНИЯ Я ВЗГЛЯНУЛА НА МАТЕМАТИКУ С ДРУГОЙ СТОРОНЫ, НЕ ПРОСТО КАК НА ТОЧНУЮ НАУКУ, А КАК НА СИСТЕМУ, КОТОРАЯ МОЖЕТ ДАТЬ НЕ ТОЛЬКО ЗНАНИЯ ВЕЛИЧИН И КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ОТНОШЕНИЙ, НО И УЧИТ ПРОСТРАНСТВЕННО МЫСЛИТЬ, КОМБИНИРОВАТЬ РАЗЛИЧНЫЕ ОТРАСЛИ ЗНАНИЙ .

Быстро считающие!!!

Журавлева Анастасия

Баранникова Анастасия

Быстро считающие!!!

Цховребов Георгий

Феклистова Кристина

Жаброва Юлия

яков трахтенберг

Счёт на пальцах

Способ быстрого умножения чисел в пределах первого десятка на 9.   Допустим, нам нужно умножить 7 на 9.

Повернём руки ладонями к себе и загнём седьмой палец (начиная считать от большого пальца слева).

Число пальцев слева от загнутого будет равно десяткам, а справа - единицам искомого произведения.

Умножение и деление на 4

Чтобы число умножить на 4, его дважды удваивают. Например:

Чтобы число разделить на 4, его дважды делят на 2. Например:

Умножение чисел от 10 до 20

• Можно очень просто умножать такие числа.
• К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел.
• Пример 1. 16∙18=(16+8) ∙ 10+6 ∙ 8=288, или
• Пример 2. 17 ∙ 17=(17+7) ∙ 10+7 ∙ 7=289.

Задание: Умножьте быстро 19 ∙ 13

Проверь себя!

19 ∙13=(19+3) ∙10 +9 ∙3=247

Умножение и деление на 5,50,500,…

Чтобы число умножить на 5, 50, 500…нужно умножить его на 10, 100, 1000, … и разделить на 2. Например:

Чтобы разделить число на 5, 50,500, … нужно разделить его на 10,100, 1000,…и умножить на 2. Например:

10800 : 50 = 10800:100·2 =216

Умножение на 25, 250,2500,…

Чтобы число умножить на 25, 250, 2500, … нужно умножить его 100,1000,10000,… и полученный результат разделить на 4. ( На 4 делятся те и только те числа, у которых две последние цифры числа выражают число, делящееся на 4)

Например:

124  25 = 1 24 : 4  100 = 3100

1716  25 = 17 16 : 4  100 = 42900

542·25=(542·100):4=13550

Деление на 25, 250,2500,…

Чтобы выполнить деление числа на 25, 25,250,2500 и т. д. это число надо разделить на 100,1000,10000 и т.д. и умножить на 4.

31200: 25 = 31200:100·4 = 1248

Умножение на 125, 1250, 12500,…

Чтобы число умножить на 125 , надо это число разделить на 8 и умножить на 1000. ( На 8 делятся те и только те числа, у которых три последние цифры выражают число, делящаяся на 8). Например:

32  125 = 32 : 8  1000 = 4000

3168  125 = 3168 : 8  1000 = 396 000

Деление на 125, 1250, 12500,…

Чтобы число разделить на 125 , 1250, 12500…надо это число разделить на 1000 и умножить на 8.

Например:

4000 : 125 = 4000 : 1000  8 = 32

9000 : 125 = 9000 : 1000  8 = 72

Умножение на 22, 33, ..., 99

• Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, ..., 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 11; 55 = 5 ∙ 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.
• Пример 1. 24 ∙ 22 = 24 ∙ 2 ∙ 11 = 48 ∙ 11 = 528
• Пример 2. 23 ∙ 33 = 23 ∙ 3 ∙ 11= 69 ∙ 11 = 759

Задание: Умножьте 18∙ 44

Проверь себя!

18 ∙ 44 = 18 ∙ 4 ∙ 11= 72 ∙ 11 = 792

Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел

• Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц.

Пример. 785+963=785+(963+7)-7=785+970-7= 1748

Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел

• Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится.

Пример. 762+639=(762+8)+(639-8)=770 + 631=1401

Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел

• Если вычитаемое уменьшить на несколько единиц и уменьшаемое увеличить на столько же единиц, то разность не изменится.

Пример. 529-435=(529-5)-(435+5)=524-440=84

Способы быстрого умножения и деления натуральных чисел

• Для получения единиц произведения перемножают единицы множителей,
• для получения десятков умножают десятки одного на единицы другого множителя и наоборот и результаты складывают,
• для получения сотен перемножают десятки.

Пример. 62∙58=3596

а) 8 ∙ 2=16, пишем 6 помним 1.

б) 8 ∙ 6+5 ∙ 2+1=59, пишем 9, помним 5.

в) 5 ∙ 6+5=35.

Умножение чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц равна 10

• Число десятков любого множителя умножить на число, которое больше на 1, затем перемножить отдельно единицы этих чисел и, наконец, к первому результату справа приписать второй.

Пример. 204 ∙ 206=42024

а) 20 ∙ (20+1)=420, пишем 420

б) 6 ∙ 4=24, пишем 24

Задание: умножьте 38∙ 32

Проверь себя!

38 ∙ 32=[3 ∙ 4=12, 8∙2=16]=1216

Прием перекрестного умножения при действии с двузначными числами

• Древние греки и индусы в старину называли его «способом молнии» или «умножение крестиком»

  Пример: 24 ∙ 32 = 768

Последовательно производим следующие действия:

1. 4 ∙ 2 = 8 – это последняя цифра результата.

2. 2 ∙ 2 = 4; 4 ∙ 3 = 12; 4 + 12 = 16.

6 – предпоследняя цифра в ответе, единицу запоминаем.

3. 2 ∙ 3 = 6, 6 + 1 = 7 – это первая цифра в ответе.

Ответ: 768.

Умножение однозначного или двухзначного числа на 37

Запомни!

37 ∙ 3=111

37 ∙ 6=222

37 ∙ 9=333

37 ∙ 12=444

37 ∙ 15=555 и т.д

  2 ∙ 37 = 74 и 3 ∙ 37 = 111

37 ∙ 6 = 37 ∙ 3 ∙ 2 = 111 ∙ 2 =222

37 ∙ 8 = 37 ∙ (6+2) = 222 + 74 = 296

37 ∙ 18 = 37 ∙ 3 ∙ 6 = 111 ∙ 6 = 666

Легко запомнить!!!

7 ∙ 11 ∙ 13=1001

77 ∙ 13=1001

77 ∙ 26=2002

77 ∙ 39=3003 и т.д

Легко запомнить!!!

  11 ∙ 11 =121

111 ∙ 111 = 12321

1111 ∙ 1111 = 1234321

11111 ∙ 11111 =123454321

..........................

111111111 ∙ 111111111 = 12345678987654321

Умножение на 1,5

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.

Например:

Умножение на 9

Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное число.

Например:

Умножение на 11

Чтобы умножить число на 11, к нему приписывают 0

и прибавляют исходное число.

Например:

Умножение на 11

Чтобы двузначное число умножить на 11, сумма цифр которого не превышает 10, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

72  11 = 7 ( 7 + 2 ) 2 = 792

35  11 = 3 ( 3 + 5 ) 5 = 385

Умножение на 11

Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10 , надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.

94  11 = 9 ( 9 + 4 ) 4 = 9 (13 ) 4 = (9 +1) 34 = 1034

73  11 = 7 ( 7 + 3 ) 3 = 7 ( 10 ) 3 = ( 7 + 1) 03 = 803

Умножение на 111

Умножим 42 на 111.

Мысленно раздвигаем цифры первого сомножителя 42 (4…2), предварительно найдя сумму его цифр: 4+2=6, и вставляем полученную сумму, повторив эту операцию дважды:

4…2=4662,

42 · 111=4662

36×111= 3996

72×111=7992

35×111=3885

61×111=6771

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65) , умножают число его десятков (6) на число десятков, увеличенное на 1 (на 6+1 = 7) , и к полученному числу приписывают 25

65 2 = (6·7)25= 4225

Например:

Выводы:

  Существуют способы быстрого сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень . Я рассмотрела лишь немногие способы быстрого счета.

Все рассмотренные методы устного вычисления говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с цифрами. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома можно развить скорость вычислений, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

Умножение без калькулятора – тренировка памяти и математического мышления. Вычислительная техника совершенствуется и по сей день, но любая машина делает то, что в нее закладывают люди, а я узнала некоторые приемы устного счета, которые помогут нам в жизни.

Мне было интересно работать над проектом.

Но кто знает, возможно, в будущем мы сами сможем открыть новые способы быстрых вычислений.

Устный счёт – гимнастика ума.

Умеете ли вы считать? Каждый, конечно ответит: «Да!»

Как я узнаю?

Запишите номер дома, где вы живете

умножьте на 4 ,

к результату прибавьте 7 ,

полученное число умножьте на 25

прибавьте к полученному произведению свой возраст ( целое число ваших лет)

прибавьте число 125 .

Скажите мне какое у вас получилось число и я назову вам номер дома, в котором вы живете и сколько вам лет.

Решение:

Пусть а – порядковый номер дома, в – ваш возраст, тогда

( 4а + 7) ·25 + в + 125 =

= 100 а + 175 + в + 125 = 100 а + в + 300

(Из названного ответа отнимаем 300, две последние цифры означают возраст, следующие - номер дома)

• Литература

• Система быстрого счета по Я. Трахтенбергу
• www.all-fizika.com/article/index.php?id_article=224

3. static.my-shop.ru/product/pdf/119/1185454.pdf

4. hijos.ru/.../bystroe-umnozhenie-na-11-i-12- sistem a-bystrogo-scheta-yak.

5. nsportal.ru/ap/.../04/.../issledovatelskaya-rabota-sekrety-bystrogo-scheta

Спасибо за внимание !