Представление чисел в компьютере

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В КОМПЬЮТЕРЕ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ

Ключевые слова

• разряд
• беззнаковое представление целых чисел
• представление целых чисел со знаком
• представление вещественных чисел

Ячейки памяти

Память компьютера состоит из ячеек, в свою очередь состоящих из некоторого числа однородных элементов.

Каждый такой элемент служит для хранения одного из битов - разрядов двоичного числа. Именно поэтому каждый элемент ячейки называют битом или разрядом .

( n -1)-й разряд

0 –й разряд

ячейка из n разрядов

Представление целых чисел

Используется несколько способов представления целых чисел, отличающихся количеством разрядов и наличием или отсутствием знакового разряда.

Под целые отводится 8 разрядов:

0

0

1

1

0

1

0

1

Под целые числа отводится 16 разрядов:

Знак

Число

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

Под целые числа отводится 32 разряда:

0

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Знак

Число

Беззнаковое представление

Беззнаковое представление можно использовать только для неотрицательных целых чисел.

Минимальное значение: во всех разрядах ячейки хранятся нули.

Максимальное значение: во всех разрядах ячейки хранятся единицы (2 n –1).

Количество битов

8

Минимальное значение

Максимальное значение

0

16

255 (2 8 – 1)

32

0

64

0

65 535 (2 16 – 1)

4 294 967 295 (2 32 – 1)

0

18 446 744 073 709 551 615 (2 64 – 1)

Пример 1 . Число 53 10 = 110101 2 в восьмиразрядном представлении имеет вид:

0

0

1

1

0

1

0

1

Число 53 в шестнадцатиразрядном представлении имеет вид:

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

Представление чисел в памяти компьютера

Представление со знаком

При представлении со знаком самый старший (левый) разряд отводится под знак числа, остальные разряды - под само число.

Если число положительное, то в знаковый разряд помещается 0 , если число отрицательное, то 1 .

Диапазон представления чисел - 2 n-1 ≤ x ≤ 2 n-1 -1, где n - разрядность ячейки.

Минимальное значение: -2 n -1 .

Максимальное значение: 2 n-1 –1.

Количество битов

8

Диапазон чисел

16

от - 2 7 до 2 7 – 1 (от -128 до 127)

от - 2 15 до 2 15 – 1 (от -32768 до 32767)

32

64

от - 2 31 до 2 31 – 1 (от -2147483648 до 2147483647)

от - 2 63 до 2 63 – 1 (от - 9223372036854775808 )

Прямой код

Пример 2 . Число 7 3 10 = 1 0 01001 2 .

Прямой код числа 73 10 в восьмиразрядном представлении имеет вид:

0

1

0

0

1

0

0

1

Прямой код числа -73 10 в восьмиразрядном представлении имеет вид:

1

1

0

0

1

0

0

1

Прямой код используется главным образом для записи и выполнения операций с неотрицательными целыми числами. Для выполнения операций с отрицательными числами используется дополнительный код.

Представление вещественных чисел

Любое вещественное число А может быть записано в нормальной (научной, экспоненциальной) форме:

А =± m  q p , где:

m - м антисса числа;

q - основание системы счисления;

p - порядок числа.

Пример. 472 000 000 может быть представлено так:

4,72  10 8

47,2  10 7

472  10 6

4720  10 5

Запятая «плавает» по мантиссе.

Такое представление числа называется представлением в формате с плавающей запятой.

Бывают записи вида: 4.72Е+8.

Формат с плавающей запятой

Число в формате с плавающей запятой может занимать в памяти компьютера 32 или 64 разряда.

При этом выделяются разряды для хранения

знака порядка,

порядка,

знака мантиссы

и мантиссы.

0

Знак и порядок

1

1

1

1

1

1

1

0

Знак и мантисса

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Диапазон представления вещественных чисел определяется количеством разрядов, отведённых для хранения порядка числа, а точность - количеством разрядов, отведённых для хранения мантиссы.

Числа в памяти компьютера

Самое главное

Для компьютерного представления целых чисел используются несколько различных способов, отличающихся друг от друга количеством разрядов (8, 16, 32 или 64) и наличием или отсутствием знакового разряда.

Для представления беззнакового целого числа его следует перевести в двоичную систему счисления и дополнить полученный результат слева нулями до стандартной разрядности.

При представлении со знаком самый старший разряд отводится под знак числа, остальные разряды - под само число. Если число положительное, то в знаковый разряд помещается 0, если число отрицательное, то 1.

Вещественные числа в компьютере хранятся в формате с плавающей запятой:

А = ±m  q p , где:

m - мантисса числа;

q - основание системы счисления;

p - порядок числа .

Вопросы и задания

Как в памяти компьютера представляются целые положительные и отрицательные числа?

Любое целое число можно рассматривать как вещественное, но с нулевой дробной частью.

Обоснуйте целесообразность наличия особых способов компьютерного представления целых чисел.

Представьте число 63 10 в беззнаковом 8-разрядном формате.

Найдите десятичные эквиваленты чисел по их прямым кодам, записанным в 8-разрядном формате со знаком:

а) 01001100;

б) 00010101.

Какие из чисел 443 8 , 101010 2 , 256 10 можно сохранить в 8-разрядном формате?

Запишите следующие числа в естественной форме:

а) 0,3800456 · 10 2 ;

б) 0,245 · 10 –3 ;

в) 1,256900Е+5;

г) 9,569120Е–3.

Запишите число 2010,0102 10 пятью различными способами в нормальной форме.

Запишите следующие числа в нормальной форме с нормализованной мантиссой - правильной дробью, имеющей после запятой цифру, отличную от нуля:

а) 217,93410;

б) 7532110;

в) 0,0010110.

Опорный конспект

Числа в компьютере

Целое число

Вещественное число

Положительное

А = ±m  q p , где:

m - мантисса числа;

q - основание системы

счисления;

p - порядок числа.

Отрицательное

Электронные образовательные ресурсы

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/d26ca47b-943d-4dec-a853-a32844cdc101/9_117.swf - Числа в памяти компьютера

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/ecf4ab69-d8ac-40a8-b26a-2780aa70b33d/9_118.swf - Представление чисел в памяти компьютера

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/19d0fb95-871d-4063-961d-e7dc5725e555/9_121.swf - Тест двоичная система счисления и представление чисел в памяти компьютера