Презентация "Теорема Пифагора"

Пифагора теорема

Одно из самых великих открытий в геометрии

Историческая справка

Пифагор

(около 569г.- около 475г. до н.э.)

Основал пифагорейскую

• школу, в которой рассматрива-
• школу, в которой рассматрива-
• школу, в которой рассматрива-
• школу, в которой рассматрива-
• школу, в которой рассматрива-

лись четыре науки: арифметика,

музыка(гармония), геометрия и

астрономия с астрологией.

Считал, что в основе всего

лежат числа и гармония.

«Все есть число».

Формулировка теоремы

Теорема формулируется так: площадь квадрата , построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника равна сумме площадей квадратов , построенных на его катетах.

Современная формулировка

« В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».     

КАТЕТ

Это прямоугольный треугольник

КАТЕТ

ГИПОТЕНУЗА

a 2 + b 2 = c 2

• Обычно открытие этого утверждения приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору (VI в. До н.э.).Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древних китайских рукописей (копии еще более древних манускриптов)показало , что это утверждение было известно задолго до Пифагора , возможно , за тысячелетие до него . Заслуга же Пифагора состояла в том , что он открыл доказательство этой теоремы.

• Вероятно , факт ,изложенный в теореме Пифагора , был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников
• Достаточно взглянуть на мозаику из черных и светлых треугольников, изображенную на рис. 1 , чтобы убедиться в справедливости теоремы для треугольника АВС : квадрат , построенный на гипотенузе , содержит 4 треугольника , а на каждом катете построен квадрат ,содержащий 2 треугольника .

Рис. 1

Доказательство

• Для доказательства общего случая в Древней Индии располагали двумя способами: в квадрате со стороной a+b изображали четыре прямоугольных треугольника с катетами длин a и b(рис. 2 а , б) , после чего писали одно слово “Смотри!” . И действительно ,взглянув на эти рисунки , видим , что слева свободна от треугольников фигура , состоящая из двух квадратов со сторонами a и b , соответственно ее площадь равна a 2 +b 2 , а справа-квадрат со стороной c-его площадь равна c 2 . Значит , a 2 +b 2 =c 2 ,что и составляет утверждение теоремы Пифагора.

Рис. 2 а

Рис. 2 б

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах .

Почтовая марка по случаю переименования острова Самос в остров Пифагорейон. На марке надпись: « т.Пифагора. Эллас. 350 драхи».

Задача землемеров

Землемеры Древнего

Египта для построения

прямого угла использо-

вали бечёвку, разделён-

ную узлами на 12 равных

частей.

Доказательство Евклида

Дано:

ABC -прямоугольный треугольник

Доказать:

S ABDE =S ACFG +S BCHI

Доказательство:

Пусть ABDE -квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника ABC , а ACFG и BCHI -квадраты, построенные на его катетах. Опустим из вершины C прямого угла перпендикуляр CP на гипотенузу и продолжим его до пересечения со стороной DE квадрата ABDE в точке Q ; соединим точки C и E , B и G .

Очевидно, что углы CAE=GAB(=A+90°) ; отсюда следует, что треугольники ACE и AGB (закрашенные на рисунке) равны между собой (по двум сторонам и углу, заключённому между ними). Сравним далее треугольник ACE и прямоугольник PQEA ; они имеют общее основание AE и высоту AP , опущенную на это основание, следовательно

S PQEA =2S ACE

Точно так же квадрат FCAG и треугольник BAG имеют общее основание GA и высоту AC; значит, S FCAG =2S GAB

• Отсюда и из равенства треугольников ACE и GBA вытекает равновеликость прямоугольника QPBD и квадрата CFGA; аналогично доказывается и равновеликость прямоугольника QPAE и квадрата CHIB. А отсюда, следует, что квадрат ABDE равновелик сумме квадратов ACFG и BCHI, т.е. теорема Пифагора.

Алгебраическое доказательство

• Дано: ABC -прямоугольный треугольник
• Доказать: AB2=AC2+BC2

  Доказательство:

1) Проведем высоту CD из вершины прямого угла С .

2) По определению косинуса угла соsА=AD/AC=AC/AB , отсюда следует

AB*AD=AC2 .

3) Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB , значит

AB*BD=BC2 .

4) Сложив полученные равенства почленно, получим:

AC2+BC2=АВ*(AD + DB)

AB2=AC2+BC2 . Что и требовалось доказать .

Геометрическое доказательство

• Дано: ABC -прямоугольный треугольник
• Доказать: BC2=AB2+AC2
• Доказательство: 1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC . Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD , равный отрезку AC , соединим точки B и E . 2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников:

SABED=2*AB*AC/2+BC2/2

3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна:

SABED= (DE+AB)*AD/2.

4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим:

AB*AC+BC2/2=(DE+AB)(CD+AC)/2

AB*AC+BC2/2= (AC+AB)2/2

AB*AC+BC2/2= AC2/2+AB2/2+AB*AC

BC2=AB2+AC2.

    Это доказательство было опубликовано в 1882 году Гэрфилдом.

Доказательство Леонардо да Винчи

• Главные элементы доказательства — симметрия и движение.

• Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок  CI  рассекает квадрат  ABHJ  на две одинаковые части (так как треугольники  ABC  и  JHI  равны по построению).
• Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки вокруг точки  A , мы усматриваем равенство заштрихованных фигур  CAJI  и  DABG .
• Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей маленьких квадратов (построенных на катетах) и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади большого квадрата (построенного на гипотенузе) плюс площадь исходного треугольника. Таким образом, половина суммы площадей маленьких квадратов равна половине площади большого квадрата, а следовательно сумма площадей квадратов, построенных на катетах равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Значение теоремы Пифагора

Из теоремы Пифагора или с её помощью можно вы-

вести большинство теорем геометрии. Теорема была первым утверждени-

ем, связывавшим длины сторон треугольников. Потом узнали, как находить

длины сторон и углы остроугольных и тупоугольных треугольников. Возникла целая наука тригонометрия. Сейчас тригонометрию применяют

Даже для измерения расстояний между космическими кораблями.

Легенда о Пифагоре

Глубокое уважение к личности Пифагора сопровождалось множеством легенд, сказок и небылиц. Легенды наперебой объявляли Пифагора чудотворцем; сообщали, что у него было золотое бедро, что люди видели его одновременно в двух разных городах говорящим со своими учениками, что однажды, когда он с многочисленными спутниками переходил реку и заговорил с ней, река вышла из берегов и громким сверхчеловеческим голосом воскликнула: «Да здравствует Пифагор!»

Если отбросить сказки и выдумки, то окажется, что Пифагор очень много сделал для развития науки (хотя начинал он совсем не как ученый, а как победитель Олимпийских игр по кулачному бою!) Сначала он занялся музыкой. Ему удалось установить связь между длиной струны музыкального инструмента и издаваемым им звуком. И тогда Пифагор решил, что не только звуки музыки, но и вообще все на свете можно выразить с помощью чисел. «Числа правят миром» провозгласил он. 

Пифагор- это не только великий математик, но и великий мыслитель своего времени. Познакомимся с некоторыми его философскими высказываниями…

Пифагор. Гравюра из старинной книги.

• Мысль — превыше всего между людьми на земле.
• Не садись на хлебную меру (т. е. не живи праздно).
• По торной дороге не ходи (т. е. следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих).
• Ласточек в доме не держи (т. е. не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык).
• Будь с тем, кто ношу взваливает, не будь с тем, кто ношу сваливает (т. е. поощряй людей не к праздности, а к добродетели, к труду).
• В перстне изображений не носи (т. е. не выставляй напоказ перед людьми, как ты судишь и думаешь о богах).

Легенды об открытии

теоремы Пифагора

Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжает вызывать горячие отклики. Многие мыслители и писатели прошлого обращались к этой замечательной теореме и посвятили ей свои строки.

О теореме Пифагора.

Пребудет вечной истина, как скоро

Её познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора верна,

Как и в его далёкий век.

А.Шамиссо

О теореме Пифагора

Уделом истины не может быть забвенье,

Как только мир её увидит взор,

И теорема та, что дал нам Пифагор,

Верна теперь, как в день её рожденья.

За светлый луч с небес вознес благодаренье

Мудрец богам не так, как было до тех пор.

Ведь целых сто быков послал он под топор,

Чтоб их сожгли как жертвоприношенье.

Быки с тех пор, как только весть услышат,

Что новой истины уже следы видны,

Отчаянно мычат и ужаса полны:

Им Пифагор навек внушил тревогу.

Не в силах преградить той истине дорогу,

Они, закрыв глаза, дрожат и еле дышат.

Суть истины вся в том, что нам она-навечно,

Когда хоть раз в прозрений её увидим свет,

И теорема Пифагора через столько лет

Для нас, как для него, бесспорна, безупречна.

На радостях богам был Пифагором дан обет:

За то, что мудрости коснулся бесконечной,

Он сто быков заклал, благодаря предвечных;

Моленья и хвалы вознес он жертве вслед.

С тех пор быки, когда, учуют, тужась,

Что к новой истине людей опять подводит след,

Ревут остервенело, так что слушать мочи нет,

Такой в них Пифагор вселил навеки ужас,

Быкам, бессильным новой правде противостоять,

Что остается? - Лишь, глаза закрыв, реветь, дрожать.

Биография Пифагора

• Родителями Пифагора были Мнесарх и Партенида с Самоса.
• Рождение ребёнка будто бы предсказала Пифия в Дельфах, потому Пифагор и получил своё имя, которое значит « тот, о ком объявила Пифия ». В частности, Пифия сообщила Мнесарху, что Пифагор принесет столько пользы и добра людям, сколько не приносил и не принесет в будущем никто другой. Поэтому, на радостях, Мнесарх дал жене новое имя Пифаида и дал имя ребенку Пифагор. Пифаида сопровождала мужа в его поездках, и Пифагор родился в Сидоне Финикийском примерно в 570 до н. э.
• По словам античных авторов, Пифагор встретился чуть ли не со всеми известными мудрецами той эпохи, греками, персами, халдеями, египтянами, впитал в себя всё накопленное человечеством знание.
• В юном возрасте Пифагор отправился в Египет, чтобы набраться мудрости и тайных знаний у египетских жрецов. Диоген и Порфирий пишут, что самосский тиран Поликрат снабдил Пифагора рекомендательным письмом к фараону Амасису, благодаря чему он был допущен к обучению и посвящён в таинства, запретные для прочих чужеземцев.

• Пифагор в 18-летнем возрасте покинул родной остров и, объехав мудрецов в разных краях света, добрался до Египта, где пробыл 22 года, пока его не увёл в Вавилон в числе пленников персидский царь Камбиз, завоевавший Египет в 525 до н. э. В Вавилоне Пифагор пробыл ещё 12 лет, общаясь с магами, пока наконец не смог вернуться на Самос в 56-летнем возрасте, где соотечественники признали его мудрым человеком.

• Пифагор покинул Самос из-за несогласия с тиранической властью Поликрата в 40-летнем возрасте. Так как эти сведения основываются на словах Аристоксен, источника IV века до н. э., то считаются относительно достоверными. Поликрат пришёл к власти в 535 до н. э., отсюда дата рождения Пифагора оценивается в 570 до н. э., если допустить, что он уехал в Италию в 530 до н. э. Ямвлих сообщает, что Пифагор переехал в Италию в 62-ю Олимпиаду, то есть в 532—529 гг. до н. э. Эти сведения хорошо согласуются с Порфирием, но полностью противоречат легенде самого Ямвлиха (вернее, одного из его источников) о вавилонском пленении Пифагора. Точно неизвестно, посещал ли Пифагор Египет, Вавилон или Финикию, где набрался по легендам восточной мудрости. Диоген Лаэртский цитирует Аристоксена, который говорил, что учение своё, по крайней мере что касается наставлений по образу жизни, Пифагор воспринял от жрицы Фемистоклеи Дельфийской, то есть в местах не столь отдалённых для греков.

• Разногласия с тираном Поликратом вряд ли могли послужить причиной отъезда Пифагора, скорее ему требовалось возможность проповедовать свои идеи и, более того, претворять своё учение в жизнь, что затруднительно осуществить в Ионии и материковой Элладе, где жило много искушённых в вопросах философии и политики людей.
• Пифагор поселился в греческой колонии Кротоне в Южной Италии, где нашёл много последователей. Их привлекала не только мистическая философия, которую он убедительно излагал, но и предписываемый им образ жизни с элементами здорового аскетизма и строгой морали. Пифагор проповедовал нравственное облагораживание невежественного народа, достигнуть которого возможно там, где власть принадлежит касте мудрых и знающих людей, и которым народ повинуется в чём-то безоговорочно, как дети родителям, а в остальном сознательно, подчиняясь нравственному авторитету. Ученики Пифагора образовали своего рода религиозный орден, или братство посвящённых, состоящий из касты отобранных единомышленников, буквально обожествляющих своего учителя и основателя. Этот орден фактически пришёл в Кротоне к власти, однако из-за антипифагорейских настроений в конце VI в. до н. э. Пифагору пришлось удалиться в другую греческую колонию Метапонт, где он и умер. Почти 450 лет спустя во времена Цицерона (I в. до н. э.) в Метапонте как одну из достопримечательностей показывали склеп Пифагора

• У Пифагора была жена по имени Феано, сын Телавг и дочь Мня (по другой версии сын Аримнест и дочь Аригнота).
• Пифагор возглавлял своё тайное общество тридцать девять лет, тогда приблизительная дата смерти Пифагора может быть отнесена к 491 до н. э., к началу эпохи греко-персидских войн. Пифагор мирно скончался в возрасте 80 лет, или же в 90 лет (по неназванным другим источникам). Из этого следует дата смерти 490 до н. э. (или 480 до н. э., что маловероятно). Евсевий Кесарийский в своей хронографии обозначил 497 до н. э. как год смерти Пифагора.

Спасибо за внимание! Конец презентации.