Программные средства визуализации решений задач дифференциального и интегрального исчислений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ИМЕНИ М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Физико-математический факультет

Кафедра информатики и вычислительной техники

РЕФЕРАТ

Программные средства визуализации решений задач дифференциального и интегрального исчислений

Выполнила: студентка группы МДИ-114

А. В. Захарова

Саранск 2018

• Дифференциальное исчисление 

Дифференциальное исчисление - раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Центральные понятия дифференциального исчисления – производная и дифференциал – возникли при рассмотрении большого числа задач естествознания и математики, приводивших к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие среди них – физическая задача определения скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой. Рассмотрим подробно каждую из них.

Будем вслед за итальянским ученым Г. Галилеем изучать закон свободного падения тел. Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Пусть  - время, отсчитываемое от начала падения, a  - пройденное к моменту  расстояние. Галилей экспериментально нашел, что зависимость  имеет следующий простой вид:

,

где  - время в секундах, а  - физическая постоянная, равная примерно 9,8 м/с2. Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость  падения постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость ? Ясно, что, зная зависимость , т.е. закон движения падающего тела, мы в принципе должны иметь возможность получить отсюда и выражение для скорости  как функции времени.

Попробуем найти зависимость  от . Будем рассуждать следующим образом: фиксируем момент , в который мы хотим знать значение скорости . Пусть  - небольшой промежуток времени, прошедший от момента . За это время падающее тело пройдет путь, равный . Если промежуток времени  очень маленький, то скорость тела за время  не успевает заметно измениться, поэтому можно считать, что если  мало, то приближенно

,                    (1)

или

,                       (2)

причем последнее приближенное равенство тем точнее, чем меньше  (чем ближе величина  к нулю). Значит, величину  скорости в момент  можно рассматривать как предел, к которому стремится стоящее в левой части приближенного равенства (2) отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента  до момента , когда величина  стремится к нулю.

Сказанное  записывают в виде

.                (3)

Проведем указанные в соотношении (3) вычисления, исходя из найденной Галилеем зависимости

.

Сделаем сначала элементарные вычисления:

;

а теперь, разделив на , получаем

.

Когда  стремится к нулю, второе слагаемое записанной справа суммы тоже стремится к нулю, а первое остается постоянным, точнее, не зависящим от величины , поэтому в нашем случае

,

и мы нашли закон

изменения скорости свободно падающего тела. Обратите внимание, формула (3) одновременно дает и определение, и правило вычисления значений  мгновенной скорости изменения функции .

Интегральное исчисление

• Интегральное исчисление - раздел математического анализа, в котором изучаются понятия интеграла, его свойства и методы вычислений. Вместе с дифференциальным исчислением оно составляет основу аппарата математического анализа. Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них – физическая задача определения, пройденного за данное время пути по известной, но, быть может, переменной скорости движения и значительно более древняя задача вычисления площадей и объемов геометрических фигур.

• Центральным в интегральном исчислении является понятие интеграла, которое, однако, имеет две различные трактовки, приводящие соответственно к понятиям неопределенного и определенного интегралов.

• В дифференциальном исчислении была введена операция дифференцирования функций. Рассматриваемая в интегральном исчислении обратная к дифференцированию математическая операция называется интегрированием или, точнее, неопределенным интегрированием.

• В чем же состоит эта обратная операция и в чем ее неопределенность?

• Операция дифференцирования сопоставляет заданной функции  ее производную . Допустим, что мы хотим, исходя из заданной функции , найти такую функцию , производной которой является функция , т. е. . Такая функция называется первообразной функции .

• Значит, обратная дифференцированию операция – неопределенное интегрирование – состоит в отыскании первообразной данной функции.

• Заметим, что, наряду с функцией , первообразной для функции , очевидно, будет также любая функция , отличающаяся от  постоянным слагаемым : ведь .

• Таким образом, в отличие от дифференцирования, сопоставлявшего функции единственную другую функцию – производную первой, неопределенное интегрирование приводит не к одной конкретной функции, а к целому набору функций, и в этом его неопределенность.

• Maxima

• Система компьютерной математики Maxima может с успехом решать следующие виды дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, линейные, нелинейные уравнения, однородные, неоднородные. Виды уравнений второго порядка: с постоянными коэффициентами, линейные однородные с непостоянными коэффициентами, которые могут быть преобразованы к уравнению с постоянным коэффициентам, уравнение Эйлера, уравнения, разрешимые методом вариации постоянных, и уравнения, которые допускают понижение порядка. Рассмотрим команды системы Maxima для нахождения решений дифференциальных уравнений и их систем в символьном виде:

• desolve (eqn, x) - ищет частные решения линейных дифференциальных

• уравнений первого и второго порядков.

• desolve ([eqn_1, ..., eqn_n], [x_1, ..., x_n]) - ищет частные решения систем линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядков.

• ode2(eqn, dvar, ivar) - предназначена для решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядка.

• Пример 1. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделенными переменными при начальном условии

• Решение. Для решения уравнения в системе Maxima выделим производную функции y явно, поделив обе части уравнения на Зададим уравнение в строке ввода и обозначим его eqn.

Пример 3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

1 способ. Зададим уравнение в ячейке ввода.

2 способ. В нижней части окна программы на панели инструментов нажимаем на кнопке Решить ОДУ. Появляется диалоговое окно, в котором надо задать само дифференциальное уравнение, имя искомой функции и имя независимой переменной:

Список использованных источников

1. Геометрия. Учебник. Базовый и профильный уровни. 10-11 классы / Л. С.Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – Москва : Просвещение, – 2016. – 207 с.

2. Разумова, О. В. Геометрические построения в пространстве: Учебно-методическое пособие / О. В. Разумова, Е. Р. Садыкова. – Казань : Казан. ун-т. – 2014. – 71 с.

3. Рисунок по представлению [Электронный ресурс] URL: https://www.litres.ru/static/trials/17/19/17/17191709.a4.pdf

4. Понятие о перспективе. Простейшие геометрические тела [Электронный ресурс] URL: http://www.mochalova.ru/meth_artterapia/geom_pr.html

5. Т. Н. Губина, Е. В. Андропова. Решение дифференциальных уравнений в системе компьютерной математики Maxima: учебное пособие. – Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2009. – 99 с.