Разработка урока алгебры в 9 классе по теме: «Сумма n-первых членов арифметической прогрессии»

Разработка урока алгебры в 9 классе по теме:

«Сумма n-первых членов арифметической прогрессии»

учителя математики Сысоева А.Н.

2017г.

Тип урока: ОНЗ.

Цели урока:

предметные - познакомить обучающихся с формулами нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии; информировать обучающихся об истории возникновения и бывшего названия суммы
n-первых членов арифметической прогрессии.

личностные - развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся на уроке посредством анализа арифметической прогрессии, вывода формул; с помощью решения задач исследовательского характера и самостоятельного вывода учащимися формул, развивать интеллектуальные качества личности школьников такие, как самостоятельность, гибкость, способность к оценочным действиям, обобщению.

метапредметные - прививать учащимся интерес к предмету посредствам применения информационных технологий (с использованием компьютера), решения исторических задач; формировать умения аккуратно и грамотно выполнять математические записи.

Оборудование: компьютер, проектор, экран.

Раздаточный материал: чистые листы, таблицы, листочки для рефлексии.

Ход урока:

1. Мотивация к учебной деятельности

Цель:

1) включение учащихся в учебную деятельность;

2) организовать деятельность учащихся по установке тематических рамок: арифметическая прогрессия;

3) создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебную деятельность.

Учитель:

Считать несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового, ничего не прибавил к своему образованию. Ян Амос Коменский

(чешский педагог, живший в 17 веке)

Я хочу, чтобы этот час, который длится урок, стал для вас счастливым, принес много открытий, опыта и хорошего настроения.

Какую тему вы начали изучать? («Числовые последовательности»).

С каким особым видом числовой последовательности познакомились? (С арифметической прогрессией).

Что мы научились находить в арифметической прогрессии?(n-ый член арифметической прогрессии по формуле).

А вы можете сказать, что знаете всё об арифметической прогрессии? (Нет)

Тогда вас ждут новые открытия в мире последовательностей.

Как вы выясняете, что не знаете? (Повторяем необходимое, подводим итог повторения, работаем с пробным заданием, если оно не получается, фиксируем своё затруднение, находим место и причину затруднения.)

Что вы сейчас повторили? (Шаги учебной деятельности.)

А если у вас пробное задание получилось, можно сказать, что находитесь в учебной деятельности? (Нет, так как в учебной деятельности мы должны выяснить, что не знаем, и найти способ, чтобы это узнать.)

А если вы сами определяете, что вы не знаете, находите способ, чтобы снять затруднение, какая же функция будет у меня? (Организовывать нашу работу и помогать.)

Чему вы ещё учитесь на уроках? (Учимся учиться.)

- Молодцы! В добрый путь!

2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном учебном действии.

Цель:

1) организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для построения нового знания: нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии ;

2) зафиксировать актуализированные способы действий в речи;

4) организовать обобщение актуализированных способов действий;

5) организовать актуализацию мыслительных операций, достаточных для построения нового знания: анализ, сравнение, обобщение;

6) мотивировать к выполнению пробного действия;

7) организовать самостоятельное выполнение пробного учебного действия;

8) организовать фиксацию индивидуальных затруднений в выполнении учащимися пробного учебного действия или в его обосновании.

7) зафиксировать индивидуальное затруднение в деятельности, демонстрирующее на личностно значимом уровне недостаточность имеющихся знаний.

А теперь давайте проверим, насколько вы готовы двигаться дальше. Учащимся предлагается выполнить следующие задания с последующей самооценкой:

Являются ли арифметическими прогрессиями следующие последовательности чисел:

а) 1; 2; 3;4; 5; 6; .. ,

б) 5; 5; 5; 5; 5; .. ,

г) 1; 2; 22; 23; 43; 44; …

Выписать первые пять членов последовательности (с_n), если с₁ = 3, с_n+1 = с_n + 4.

Дана последовательность чисел (х_п): 1,4, 7, 10, 13, 16, …. Назовите третий, пятый, первый, восьмой, шестой члены последовательности.

Последовательность задана первыми членами: 1,5,9… Задайте формулу общего вида.

Последовательность (а_n), задана формулой а_n = 2n + 3. Является ли членом последовательности число 9?

Сверьте свои решения с эталоном.

Что вы сейчас повторили и узнали? (Мы повторили понятие арифметической прогрессии, рекуррентную формулу, формулу n-го члена)

Какое следующее задание я вам предложу? (Задание для пробного действия.)

С какой целью вам предлагается пробное задание? (Чтобы понять, что нового сегодня будет на уроке.)

Перенесемся в мир Древнего Египта, страны великих достижений человеческой мысли, великих астрономов и математиков. На этом слайде мы видим, как создавалась пирамида. Египетские пирамиды были построены благодаря не только упорному труду, но и математической мысли. Достижения Египетских математиков непостижимы не только по своему совершенству, но и по точности математических расчетов.

Математические правила, нужные для земледелия, астрономии и строительных работ, древние египтяне записывали их на стенах храмов или на папирусах. Самый большой, сохранившийся до наших дней, древнеегипетский математический текст – это папирус писца 18–17 веков до нашей эры Ахмеса. Он имеет размер 5,25 м на 33 см, содержит 84 задачи. Когда его расшифровали, то узнали такую вещь.

Если камушки (или другие предметы) разложить рядами в форме треугольника так, что в первом ряду положить 1 камень, во втором – 2 и т.д., то их количество называли «треугольным числом». Таким образом, треугольные числа образуют такую последовательность:

a₁ = 1, a₂ = 2, a₃ = 3, …, а сумма этих камушков образует треугольное число

Обозначим его S_n = 1+2+3+4+…+ n. Где n – это n-й член этой последовательности. И в зависимости от количества членов можно находить любое треугольное число. А какая у нас получилась последовательность? (Арифметическая прогрессия)

Что же такое треугольное число? Это и есть сумма n-первых членов арифметической прогрессии. В современной математике нет такого понятия, как треугольное число, в современной науке его называют сумма n-первых членов арифметической прогрессии.

Сформулируйте тему урока. (Сумма n-первых членов арифметической прогрессии).

Так мы и назовем тему нашего урока. Запишите ее в тетради.

Учитель объявляет цель урока. На этом уроке мы с вами будем выводить формулы суммы n-первых членов арифметической прогрессии и рассмотрим некоторое их применение к практическим задачам.

Пробное задание

Обучающиеся записывают условие задачи в тетрадь.

Давайте определимся. Пусть членов этой последовательности будет 100.

Нужно найти сотое треугольное число или, другими словами, сумму n-первых членов арифметической прогрессии: S ₁₀₀ = 1+2+3+4+…+100.

Что вы теперь будете делать с этим заданием? (Мы попробуем выполнить его.)

С какой целью вы будете пробовать? (С целью понять, где у нас затруднение, а может быть найти способ для выполнения задания.)

На работу отводится 1 минута.

После истечения времени.

Удалось вам выполнить задание?

Могут быть разные ответы.

У кого нет ответа?

Сформулируйте своё затруднение.

Могут быть ответы, что не успели найти значение выражения.

У кого есть результат, покажите.

Некоторые ответы фиксируются на доске.

Вариант первый: учитель фиксирует, что нет правильных ответов.

Сформулируйте затруднение. (Мы не смогли найти значения выражения.)

Вариант второй: учитель фиксирует, что есть правильные ответы.

Вы можете доказать, что вы правильно выполнили задание, т.е. вы можете предъявить правило нахождения сумму n-первых членов арифметической прогрессии? (Нет.)

- Вы хотите разобраться, почему так произошло? (Да.)

3. Выявление места и причины затруднения

Цель:

1) организовать восстановление выполненных операций;

2) организовать фиксацию места (шага, операции), где возникло затруднение;

3) организовать соотнесение своих действий с используемыми эталонами (алгоритмом, понятием и т.д.);

4) на этой основе организовать выявление и фиксацию во внешней речи причины затруднения – тех конкретных знаний, умений или способностей, которых недостает для решения исходной задачи и задач такого класса или типа вообще.

– Что вы должны были сделать? (Найти значение выражения.)

- Как вы действовали? (…)

– Почему не всем удалось выполнить задание? (У нас нет быстрого, простого способа нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии )

Могут быть ответы: мало времени было отведено на выполнения этого задания; не знают, как доказать правильность своего решения.

4. Построение проекта выхода из затруднения

Цель:

организовать построение проекта выхода из затруднения:

- учащиеся ставят цель проекта (целью всегда является устранение причины возникшего затруднения);

- учащиеся уточняют и согласовывают тему урока;

- учащиеся определяют средства (алгоритмы, модели, справочники и т.д.);

-учащиеся формулируют шаги, которые необходимо сделать для реализации поставленной цели.

- Уточните цель своей деятельности. (Надо составить алгоритм, вывести формулу, с помощью которой, быстрее можно выполнить задание.)

- Чем же можно воспользоваться, чтобы упростить вычисления? (Переместительным, сочетательным, распределительным законами сложения чисел)

1) организовать реализацию построенного проекта в соответствии с планом;

2) организовать фиксацию нового способа действия в речи;

3) организовать фиксацию нового способа действия в знаках (с помощью эталона);

4) организовать фиксацию преодоления затруднения;

5) организовать уточнение общего характера нового знания (возможность применения нового способа действий для решения всех заданий данного типа).

Организация учебного процесса на этапе 5:

- Сегодня вы будете работать в группах. На выполнение 3 минуты. После выполнения, группы представляют результат работы.

Одна из групп по желанию выставляет свою версию на доске с помощью магнитов или скотча, и обосновывает её. Остальные группы работают на дополнение и уточнение.

Задача учителя на данном этапе – организовать согласование всех полученных версий. После этого он выставляет собственный вариант и учащиеся сравнивают его со своими версиями.

Результатом работы групп, должен быть получен алгоритм и значение выражения, найденных с помощью нового способа действий.

Можно также провести фронтальную беседу.

Может быть, вам эта задача кажется не такой уж и легкой, но эта задача уже однажды была решена, причем 9-ти летним мальчиком.

организовать усвоение детьми нового способа действий при решении данного класса задач с их проговариванием во внешней речи: фронтально.

Найдите сумму десяти первых четных чисел натурального ряда.

Является ли данная последовательность арифметической прогрессией? (Да)

Назовите первый член и разность этой арифметической прогрессии. (2; 2)

Известен ли последний член этой арифметической прогрессии? (Нет)

Какой формулой удобнее воспользоваться? (Второй формулой)

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Цель:

1) организовать самостоятельное выполнение учащимися типовых заданий на новый способ действия;

2) организовать соотнесение работы с эталоном для самопроверки (в случае, когда учащиеся начинают осваивать процедуру грамотного самоконтроля возможно соотнесение работы с подробным образцом);

3) организовать вербальное сопоставление работы с эталоном для самопроверки*

(в случае, когда способ действия состоит из нескольких шагов – организация пошаговой проверки);

4) по результатам выполнения самостоятельной работы организовать рефлексию деятельности по применению нового способа действия.

* В случае, когда учащиеся начинают осваивать процедуру грамотного самоконтроля возможно вербальное сопоставление работы с подробным образцом.

Выполните самостоятельно: Найдите сумму пятидесяти первых нечетных чисел натурального ряда.

Учащиеся сверяют работу по эталону для самопроверки.

Проводится анализ и коррекция ошибок. Желательно, что бы дети, допустившие ошибки объяснили причину, по которой они не правильно выполнили задание.

В каком месте была допущена ошибка?

Почему у вас возникли затруднения?

8. Включение в систему знаний и повторение

Задача 1. Рабочий выложил плитку следующим образом: в первом ряду - 3 плитки, во втором - 5 плиток и т.д., увеличивая каждый ряд на 2 плитки. Сколько плиток понадобиться для 7 рядов?

a₁=3, d=2,

Ответ: 63 плитки.

Задача 2. За 16 дней Карл украл у Клары 472 коралла. Каждый день он крал на три коралла больше, чем в предыдущий день. Сколько кораллов Карл украл в последний день?

a₁=7, a₁₆=7+15*3=52

Ответ: 52 коралла.

Задача 3. Том Сойер красил забор длиной 105 м, причем день за днем количество выкрашенного за день уменьшалось на одну и ту же величину. За сколько дней был выкрашен забор, если за первые три дня Том выкрасил 36 м забора, а за последние три дня – 27 м?

Решение

Обозначим через n искомое количество дней, а через количество (в метрах) выкрашенного в k-ый день. Тогда – арифметическая прогрессия, в которой

Задача 4. За изготовление и установку самого нижнего железобетонного кольца колодца заплатили 26 у.е., а за каждое следующее кольцо платили на 2 у.е. меньше, чем за предыдущее. Кроме того в конце работы заплатили еще 40 у.е.. Сколько колец в колодце, если потом выяснили, что средняя стоимость одного кольца оказалась у.е?

Решение:

а₁=26 d= -2, а_n=28-2n, S_n=27n-n², , 9n²-41n-360=0, n=9 (nN)

Ответ: 9 колец

9. Рефлексия

Какое новое число вы открыли сегодня? (Треугольное число или сумму n-первых членов арифметической прогрессии)

Какие формулы вывели?

Эти формулы подходят для любой числовой последовательности?

Какой формулой, когда пользоваться удобнее?

Домашнее задание:

Выучить формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии. Придумать задачи на применение каждой формулы суммы n-первых членов арифметической прогрессии

6