Решение уравнений

Цели урока:

образовательные: закрепить умения и навыки решения целых уравнений используя методы разложения многочлена на множители и введения новой переменной, использовать полученные знания для решения уравнений высших степеней;  вырабатывать умение применять накопленные знания для решения заданий повышенного уровня сложности.

развивающие: развитие логического мышления, познавательного интереса, умение анализировать, наблюдать и делать выводы; развивать умение работать самостоятельно и в группе.

воспитательные: повышать заинтересованность в изучении предмета; воспитание активности и самостоятельности.

Тип урока: урок закрепления и совершенствования умений и навыков.

Формы организации деятельности учащихся: фронтальная,  групповая.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация для сопровождения урока медиапродукт Microsoft Office Power Point (Приложение 1), раздаточные материалы (Приложение 2, Приложение 3), смайлики - настроение.

Структура урока:

1. Организационный момент. Постановка цели – 1 мин.
2. Проверка домашнего задания – 3 мин.
3. Актуализация опорных знаний – 6 мин.
4. Уровневая самостоятельная работа с самопроверкой – 10 мин.
5. Физминутка – 2 мин.
6. Закрепление полученных знаний. Работа в тетради – 20 мин.        
7. Домашнее задание – 1 мин.
8. Итог урока – 1 мин.
9. Рефлексия – 1 мин.            

Ход урока:

1. Организационный момент. Постановка цели – 1 мин

            Сегодня у нас занятие по теме «Решение уравнений повышенной сложности». Цель нашего урока: закрепить умения и навыки решения целых уравнений используя методы разложения многочлена на множители и введения новой переменной; использовать полученные знания для решения уравнений высших  степеней и вырабатывать умение применять накопленные знания для решения заданий повышенного уровня сложности.  

           Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники.

2. Проверка домашнего задания – 3 мин.
3. Сборник заданий для подготовки к ГИА

1 уровень: № 2.1(а), 2.4(а), 2.6(а)

2 уровень: № 2.20(а), 2.21(а), 2.26(а)

4. Актуализация опорных знаний – 6 мин.
   Начнем наш урок с повторения теоретического материала (фронтальный опрос учащихся). Закончите определение: (слайд 3)

1. Уравнением называется…
   Уравнением называется равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.                                                                                           
2. Корнем уравнения называется…
   Корнем уравнения с одной переменной называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
3. Решить уравнение  – значит …
   Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.                                                                                         
4. Какие уравнения называются равносильными? (слайд 4)
   Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней. 

5. Какие преобразования сохраняют уравнения равносильными?

1. Если в уравнении перенести какое-нибудь слагаемое в другую часть уравнения, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

6. Что называется степенью уравнения?

Если уравнение с одной переменной записано в виде Р(х)=0, где Р(х)-многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения.

Определите степень уравнения: смотри документ

Для уравнений 3 и 4 степени известны формулы корней, но они очень сложны и неудобны для практического применения. Что касается уравнений пятой и более высоких степеней, то общих формул корней не существует.

7. Какое уравнение называется биквадратным?
8.  Какие методы решения целых уравнений вы знаете? (слайд 5)

• Метод разложения на множители;
• Метод введения новой переменной;
• Графический метод.

При решении уравнений  мы наиболее часто применяем один из этих методов -  метод разложения многочлена на множители.

9.  На чем основан метод разложения на множители?

Если в уравнении Р(х)=0 многочлен Р(х) разложить на множители и затем прировнять каждый множитель к 0, то решив получившиеся уравнения, находим корни уравнения Р(х)=0.

4. Уровневая самостоятельная работа с самопроверкой – 10 мин.

Сегодня мы закрепляем навыки решения уравнений, используя метод разложения многочлена на множители и введения новой переменной. Проверим знания, выполнив самостоятельную работу. Приложение 2 – самостоятельная работа  на 3 уровня сложности – каждый ученик решает по два уравнения. (слайд 5)

Время, отведенное на самостоятельную работу, закончилось. Положите ручки и выполните самопроверку уравнений.

5. Физминутка для улучшения мозгового кровообращения – 2 мин. (слайд 6) 

 1. Исходное положение (далее - и.п.) - сидя на стуле. 1 - 2 - отвести голову назад и плавно наклонить назад, 3 - 4 - голову наклонить вперед, плечи не поднимать. Повторить 4 - 6 раз. Темп медленный.                                                                                   2. И.п. - сидя, руки на поясе. 1 - поворот головы направо, 2 - и.п., 3 - поворот головы налево, 4 - и.п. Повторить 6 - 8 раз. Темп медленный.                                                         3. И.п. - стоя или сидя, руки на поясе. 1 - махом левую руку занести через правое плечо, голову повернуть налево. 2 - и.п., 3 - 4 - то же правой рукой. Повторить 4 - 6 раз. Темп медленный.

6. Применение накопленных знаний к решению заданий повышенного уровня сложности. Работа в тетради – 20 мин. (Приложение 3) Учащиеся работают в ранее сформированных группах. После чего представитель группы оформляет решение на доске и объясняет ход решения всему классу.

7. Домашнее задание – 1 мин. (слайд 10)
8. Итог урока – 1 мин. Объявление отметок.
9. Рефлексия – 1 мин. Ребята! Прошу Вас ответить на следующие  вопросы: (слайд 11)
   • Считаете ли вы, что цели нашего урока достигнуты?
   • Было ли вам интересно работать на уроке?
     • Покажите тот смайлик, который соответствует Вашему настроению по окончании урока

Мне понравилось заниматься:

Спасибо за внимание. Урок окончен. До свидания!

Конспект урока по алгебре в 9 классе

«Подготовка к ГИА. Решение уравнений. Задания повышенного уровня сложности»,

Цели урока:

• образовательные: закрепить умения и навыки решения целых уравнений используя методы разложения многочлена на множители и введения новой переменной, использовать полученные знания для решения уравнений высших степеней; вырабатывать умение применять накопленные знания для решения заданий повышенного уровня сложности.

• развивающие: развитие логического мышления, познавательного интереса, умение анализировать, наблюдать и делать выводы; развивать умение работать самостоятельно и в группе.

• воспитательные: повышать заинтересованность в изучении предмета; воспитание активности и самостоятельности.

Тип урока: урок закрепления и совершенствования умений и навыков.

Формы организации деятельности учащихся: фронтальная, групповая.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация для сопровождения урока медиапродукт Microsoft Office Power Point (Приложение 1), раздаточные материалы (Приложение 2, Приложение 3), смайлики - настроение.

Структура урока:

1. Организационный момент. Постановка цели – 1 мин.

2. Проверка домашнего задания – 3 мин.

3. Актуализация опорных знаний – 6 мин.

4. Уровневая самостоятельная работа с самопроверкой – 10 мин.

5. Физминутка – 2 мин.

6. Закрепление полученных знаний. Работа в тетради – 20 мин.

7. Домашнее задание – 1 мин.

8. Итог урока – 1 мин.

9. Рефлексия – 1 мин.

Ход урока:

1. Организационный момент. Постановка цели – 1 мин

Сегодня у нас занятие по теме «Решение уравнений повышенной сложности». Цель нашего урока: закрепить умения и навыки решения целых уравнений используя методы разложения многочлена на множители и введения новой переменной; использовать полученные знания для решения уравнений высших степеней и вырабатывать умение применять накопленные знания для решения заданий повышенного уровня сложности.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники.

1. Проверка домашнего задания – 3 мин.

2. Сборник заданий для подготовки к ГИА

1 уровень: № 2.1(а), 2.4(а), 2.6(а)

2 уровень: № 2.20(а), 2.21(а), 2.26(а)

(Нажатие кнопки предоставляет решение уравнений, которые могли вызвать трудности у обучающихся, нажатие кнопки возвращает на слайд 2)

1. Актуализация опорных знаний – 6 мин. Начнем наш урок с повторения теоретического материала (фронтальный опрос учащихся). Закончите определение: (слайд 3)

1. Уравнением называется… Уравнением называется равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

2. Корнем уравнения называется… Корнем уравнения с одной переменной называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Установите какие из чисел -2; -1; 0 являются корнями уравнения:

Корни: -1; 0.

Корни: -2; -1. (Нажатие возвращает на слайд 3)

1. Решить уравнение – значит … Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Решите уравнения (устно):

Ответ: -1; 0; 3.

Ответ: -3; 0; 3.

Ответ: -_; _.

Ответ: корней нет.

Ответ: 3.

Ответ: -1; 7. Нажатие возвращает на слайд 3

1. Какие уравнения называются равносильными? (слайд 4)

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.

1. Какие преобразования сохраняют уравнения равносильными?

1. Если в уравнении перенести какое-нибудь слагаемое в другую часть уравнения, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

1. Что называется степенью уравнения?

Если уравнение с одной переменной записано в виде Р(х)=0, где Р(х)-многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения.

Определите степень уравнения:

Ответ: 5 степень.

Ответ: 2 степень.

Ответ: 1 степень. (Нажатие возвращает на слайд 4)

Для уравнений 3 и 4 степени известны формулы корней, но они очень сложны и неудобны для практического применения. Что касается уравнений пятой и более высоких степеней, то общих формул корней не существует.

1. Какое уравнение называется биквадратным? Уравнение вида , где х- переменная, а,b,с – некоторые числа, причём а≠0 называется биквадратным.

2. Какие методы решения целых уравнений вы знаете? (слайд 5)

• Метод разложения на множители;

• Метод введения новой переменной;

• Графический метод.

При решении уравнений мы наиболее часто применяем один из этих методов - метод разложения многочлена на множители.

1. На чем основан метод разложения на множители?

Если в уравнении Р(х)=0 многочлен Р(х) разложить на множители и затем прировнять каждый множитель к 0, то решив получившиеся уравнения, находим корни уравнения Р(х)=0.

1. Уровневая самостоятельная работа с самопроверкой – 10 мин.

Сегодня мы закрепляем навыки решения уравнений, используя метод разложения многочлена на множители и введения новой переменной. Проверим знания, выполнив самостоятельную работу. Приложение 2 – самостоятельная работа на 3 уровня сложности – каждый ученик решает по два уравнения. (слайд 5)

Время, отведенное на самостоятельную работу, закончилось. Положите ручки и выполните самопроверку уравнений.

(Нажатие кнопки выполняет переход на слайд с ответами (слайд 13), нажатие кнопки возвращает на слайд с уравнениями).

(Нажатием кнопки можно показать решение уравнений (слайды 14-19), нажатие кнопки возвращает на слайд с уравнениями).

1. Физминутка для улучшения мозгового кровообращения – 2 мин. (слайд 6)

1. Исходное положение (далее - и.п.) - сидя на стуле. 1 - 2 - отвести голову назад и плавно наклонить назад, 3 - 4 - голову наклонить вперед, плечи не поднимать. Повторить 4 - 6 раз. Темп медленный. 2. И.п. - сидя, руки на поясе. 1 - поворот головы направо, 2 - и.п., 3 - поворот головы налево, 4 - и.п. Повторить 6 - 8 раз. Темп медленный. 3. И.п. - стоя или сидя, руки на поясе. 1 - махом левую руку занести через правое плечо, голову повернуть налево. 2 - и.п., 3 - 4 - то же правой рукой. Повторить 4 - 6 раз. Темп медленный.

1. Применение накопленных знаний к решению заданий повышенного уровня сложности. Работа в тетради – 20 мин. (Приложение 3) Учащиеся работают в ранее сформированных группах. После чего представитель группы оформляет решение на доске и объясняет ход решения всему классу.

Решение задания №1 оформляет ученик из 1 группы: (слайд 7)

Выполним замену: (5х + 1) = a и (х² + 1) = b

Получим уравнение:

Отсюда: или

Обратная замена:

Найдем сумму корней: Ответ: - 10.

Решение задания № 2 выполняет ученик из 2 группы: (слайд 8) Рассмотрим функции: 2х+3у=с – линейная функция, ограничений на переменную х нет. у=6/х – обратная пропорциональность. Накладываем условие на переменную: х ≠ 0. Подставим выражение вместо у в первое уравнение .

Получим уравнение: . Умножим обе части уравнения на х ≠ 0.

Получим уравнение:

Графики функций имеют единственную точку в том и только том случае, когда уравнение имеет единственный корень.

Т.к. точка касания имеет отрицательные координаты, то с

В этом случае получаем прямую, которая касается ветви гиперболы, расположенной в 3 четверти, т.е. в точке с отрицательными корд-ми. Ответ: с = - 12.

Решение задания № 3 выполняет ученик из 3 группы: (слайд 9)

Выполним подстановку и найдем значения b при которых уравнение имеет единственное решение:

Полученное уравнение имеет единственное решение, если D=0.

Решив уравнение , получим b = ±5.

Т.о. получили уравнения двух прямых, касающихся окружности: и

Найдем абсциссы точек касания, подставив найденные значения b в уравнение

При b = 5 получим уравнение:

Этот корень не удовлетворяет условию задачи.

При b = - 5 получим уравнение:

Найдем соответствующее значение у = 2·2 - 5 = -1. Координаты точки касания (2; - 1). Ответ: (2; - 1)

1. Домашнее задание – 1 мин. (слайд 10)

1 уровень: Приложение 2: 2(а,б), Приложение 3: 1(б). 2 уровень: Приложение 2: 3(а,б), Приложение 3: 2(б). 3 уровень: Приложение 3: 1(б); 2(б); 3(б).

1. Итог урока – 1 мин. Объявление отметок.

2. Рефлексия – 1 мин. Ребята! Прошу Вас ответить на следующие вопросы: (слайд 11)

• Считаете ли вы, что цели нашего урока достигнуты?

• Было ли вам интересно работать на уроке?

  • Покажите тот смайлик, который соответствует Вашему настроению по окончании урока

Мне понравилось заниматься:

Мне было трудно:

Математика точно не для меня:

Спасибо за внимание. Урок окончен. До свидания!

6