Функция
y = cos x
её свойства и график
Функция y = cos x определена на всей числовой прямой, и множеством её значений является отрезок [−1;1].
Следовательно, график этой функции расположен в полосе между прямыми y= −1 и y=1.
Так как функция y = cos x периодическая с периодом 2π , то достаточно построить её график на каком-нибудь промежутке длиной 2π , тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного отрезка на 2πn, n∈Z, график будет таким же.
Рассмотрим поведение функции и отметим важнейшие точки на промежутке [0; ]
В координатной плоскости
На числовой окружности
Функция y = cos x является чётной. Поэтому её график симметричен относительно оси ОУ
Для построения графика на отрезке - π≤x≤π достаточно построить его для 0≤x≤π , а затем симметрично отразить его относительно оси ОУ
График функции y = cos x
Кривая, являющаяся графиком функции y= cos x, называется косинусоидой .
Свойства функции y = cos x
1. Область определения — множество R всех действительных чисел. D(y) = (-∞ ; + ∞ )
2. Множество значений Е(у) = [−1;1]
3. Функция периодическая с периодом T= 2π .
4. Функция чётная cos(-x) = cos x
(график симметричен относительно оси ОУ ).
5 . Функция ограничена и сверху, и снизу.
6. Функция y= cos x принимает: - значение, равное 0 , при x=π /2+ πn,n∈Z; - наибольшее значение, равное 1 , при x=2πn,n∈Z ; - наименьшее значение, равное −1 , при x=π+2πn,n∈Z;
7. Промежутки, на которых функция принимает положительные значения при
x ∈ ( -π/2+2π n; π/2+2π n), n ∈ Z
Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения при
x ∈ ( π /2+2 π n; 3 π / 2+2 π n), n ∈ Z
- Функция возрастает на x ∈ [ π + 2 π n; 2 π n ] , n ∈ Z
функция убывает на x ∈ [ 2 π n ; π + 2 π n ] , n ∈ Z
Решение задач
Задача №1
Найти пределы изменения функции y = cos t на данном отрезке [ /6; /2]
Решение
Функция монотонно убывает на указанном промежутке, значит, наибольшее значение принимает на левом конце отрезка у( /6)= 3/2, а наименьшее значение принимает на его правом конце у( /2) = 0
Задача №2
Найти наибольшее и наименьшее значение функции y = cos t на данном отрезке [ / 3 ; 7 / 6 ]
Решение
На данном промежутке функция немонотонна.
Наибольшее значение принимает на левом конце отрезка у( /3)=1/2, а наименьшее значение у( ) = -1
Задача №3
Задача 2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение: 1 + cos t = a
Решение
Построим график функции y = 1 + cos t
Уравнение
1 + cos t = a
имеет хотя бы одно решение при a Є [0;2]
В данном случае множество значений параметра совпадает со множеством значений функции.
Ответ: а Є [0; 2]
Задача №4
Решить уравнение
Решение
Построим в одних координатных осях графики функций
Графики имеют только одну общую точку
А(0; 1)
Ответ: х=0
Задача №5
Найти число корней уравнения
Решение
На промежутке [- π ; 0] функция у= cosx монотонно возрастает, функция у=х 2 монотонно убывает. Это значит, что на данном промежутке графики имеют только одну общую точку.
На промежутке [ 0; π ] функция у= cosx монотонно убывает, функция у=х 2 монотонно возрастает. Значит, и на этом промежутке графики имеют только одну общую точку.
Ответ: два корня
Задача №5
Построить график функции y=cos3x
Решение
Косинус – четная функция, строим график на участке
[0; π /3] , затем симметрично отображаем относительно оси y и получаем график на промежутке [- π /3; π /3] длина которого равна периоду. График сжимается к оси Оу в 3 раза.
Задания для самостоятельного решения
1) Постройте графики функций
1) у = cos x + 1;
2) у = cos x – 1;
3) у = cos (x + π /2)
4) у = cos (x – π /3)
2 ) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= cos (x) на отрезке [0; 4π/3]
3) Определить область значений функции y=−8cosx+3.
4) Определить чётность или нечётность функции:
f(x)=x5⋅cos6x.
5) Определить, возрастает или убывает функция y=cosx на отрезке: [−4π;−3π].
6) Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
y=cos 4 2x−sin 4 2x+4.
7) Определить наименьшее и наибольшее значения функции y=cosx
на полуинтервале (−4π / 3;−π / 3].
Заключение.
Мы рассмотрели график функции
y = cos x ,
изучили особенности ее поведения, использовали их и свойства функции при решении задач, в том числе и задач с параметром