Тригонометрические уравнения

Методическое пособие по алгебре.

Тема: «Тригонометрические уравнения»

( В помощь преподавателям и студентам академических лицеев и колледжей)

Составитель: Хаджибаева И.И.

ТАШКЕНТ 2021-2022

Пояснительная записка

Программа рассчитана на 20 часов. Данный курс построен на уже изученном материале “Тригонометрические выражения”. Объяснения даем на глубокое изучение темы "Тригонометрические уравнения", они расположены в основном по возрастанию сложности. Принципы и методы решения тригонометрических уравнений, те же, что и изучали ранее на уроках , но большинство заданий нестандартны. Эти задания развивающего характера.

Цель курса:

• Сформировать и систематизировать знания решение нестандартных тригонометрических уравнений;

• формировать логическое мышление;

• способствовать развитию учебной мотивации и осознанному выбору профилю обучения;

• расширить и углубить знания, умения и навыки учащихся по данной теме.

ПЛАН

«Алгебра и начала анализа». Тригонометрические уравнения (20ч)

	Тема	Кол-во часов
1	Простейшие тригонометрические уравнения	4ч
2	ТригонГеометрические уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного	4ч
3	Решение тригонометрических уравнений, применяя основные тригонометрические формулы	4ч
4	Однородные уравнения	4ч
5	Введение вспомогательного угла	4ч

Основные формулы тригонометрии:

Формулы сложения:

Формулы суммы и разности синусов (косинусов):

Формулы двойного аргумента:

Формулы половинного аргумента:

Дополнительные тригонометрические формулы:

I. Простейшие тригонометрические уравнения. Из курса алгебры известно, что значения косинуса и синуса заключены в промежутке -1;1 т.е., -1  cos   1. Поэтому, если  1, то уравнение cos х= не имеет корней.

1. Решить уравнение

Решение:

Ответ:

.

2. Решить уравнение .

Решение:

Задания для самостоятельной работы:

Решить уравнения:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

Решить уравнения:

9)

10)

11)

12)

13)

14)

3.Решить уравнение

Решение:

4. Решить уравнение

Решение:

5. Решить уравнение

Решение:

6. Решить уравнение

Решение:

7. Решить уравнение

Решение:

Уравнение не имеет решения.

Ответ: нет корней

Решить уравнение

Решение:

II.Тригонометрические уравнения, сводящиеся к простейшим с заменой неизвестного.

Рассмотрим примеры решения уравнений f(x)=t, которые проводят к решению квадратных уравнений или рациональных уравнений с неизвестным t.

8. Решить уравнение:

Решение:

Введем новое неизвестное cosx=t, тогда наше уравнение запишем в виде квадратного уравнения с неизвестным t:

2t²+3t+1 = 0, решаем:

Д=1, Д0, два корня;

t₁= -1, t₂=

Поэтому множество всех решений уравнения

есть объединение решений уравнений: cosx= -1 и cosx=

решение есть

З
адания для самостоятельной работы

1. sin3х=0

2. 2sin²x-cosx-1=0

3. tgx+3сtgx=4

9. Решить уравнение sin3х=0

Решение:

Нужно ввести неизвестное 3х=t, тогда уравнение перепишем в виде простейшего тригонометрического уравнения с неизвестным t:

sint= 0

Произведём замену:

(
можно замену и не писать)

10. Решить уравнение 2sin²x-cosx-1=0

Решение:

Используем формулу sin²x=1-cos²x, получаем

р аскрываем скобки

Заменяем cosx= y, получим квадратное уравнение 2у²+у-1=0

Д0, Д=9, два корня;

х₁= -1, х₂=

Решением уравнения 2sin²x-cosx-1=0, есть объединение решений уравнений:: cosx=-1, cosx=

1)соsx= -1

11. Решить уравнение:tgx+3ctgx=4.

Заменим

, умножим обе части уравнения на tgx, получим квадратное уравнение: tg² x + 3 = 4 tgx

tg² x - 4tgx+3=0

Находим корни этого уравнения: tgx=1, tgx= 3

Объединение решений этих уравнений являются решением данного уравнения.

1. t
   gx=1

2. tgx=3

III. Решение тригонометрических уравнений, применяя основные тригонометрические формулы

Применение основного тригонометрического тождества

12. Решить уравнение: 3sinx=2cos ²x

Решение: 3sinx=2cos ²x

Применим основное тригонометрическое тождество sin ²x+cos²x=1, перепишем уравнение в виде:

3sinx=2(1-sin²x)

2sin²x+3sinx-2=0

Введем новое неизвестное sinх =t, тогда уравнение запишем в виде квадратного с неизвестным t:

2t²+3t-2=0

Д=25, Д0, два корня;

t₁= -2, t₂=

Поэтому множество всех решений уравнения 2sin²x+3sinx-2=0, есть объединение решений уравнений: sinх=

и sinх= -2.

т.е это уравнение не имеет решений

Задание для самостоятельной работы:

1. sin²х+2cosх-2=0

2. sinх+sin²х+sin3х =0

13. Решить уравнение sinх+sin²х+sin3х =0

Решение:

sinх+sin²х+sin3х =0

Сгруппируем и используем формулу преобразования суммы в произведение:

(sinх+ sin3х)+ sin2х+ =0

2sin2xcosx+ sin2x=0

sin2x(2cosx+ 1)=0

Используя правило умножения, если один из множителей равно нулю, то и произведение равно нулю, т.е.:

Sin2х=0 или 2cosx =0

Ответ: ;

14. Решить уравнение: sin²х+2cosх-2=0

Решение: Используем формулу sin²х=1-cos ²х и подставляем в уравнение:

1-cos²x+2cosx-2=0, умножаем обе части уравнения на (-1) и перепишем

cos²x-2cosx+1=0

Заменим cosх=у, решаем квадратное уравнение

У²-2у+1=0

Д=0, один корень

Х=2

Получаем уравнение cosх=2, т.к. [cosх]≤1, т.е уравнение sin²x+2cosx-2=0 не имеет решения.

Ответ: нет корней.

IV. Однородные уравнения

Уравнения вида , где α ≠ 0 и β ≠ 0, называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени.

15. Решить уравнение : sinх+cosх=0

Разделим обе части равенства на cosx, где х ≠ π/2

Получим равенство:

tgx+1=0

tgx = -1

Ответ:

Задания для самостоятельной работы:

Решение однородных тригонометрических уравнений:

16. Решить уравнение:

Решение:

Разделим обе части уравнения на

Получим уравнение:

1. Решить уравнение:

Решение:

Разделим обе части уравнения на

У нас получилось квадратное уравнение относительно tgх. Решив его получаем:

18. Решить уравнение :

Решение

Делим обе части уравнения на

V. Введение вспомогательного угла.

Вспомогательные углы приводят к применению формул. 19. Решить уравнение сosx + sinx =

Решение:

Разделим обе части уравнения на получим равенство:

освободимся от рациональности в знаменателе, перепишем его в виде

т.к. ,то уравнение можно записать в виде:

получим

Все решения уравнения

удовлетворяют решению уравнения сosx + sinx = :

Ответ:

20. Решить уравнение:

Решение:

Разделим обе части уравнения на 2:

_{, перепишем уравнение в виде:}

_{, используя формулу сложения получим:}

21. Решить уравнение:

Решение:

Делим обе части уравнения на 2.

Уравнение примет вид

, перепишем уравнение:

, используя формулу сложения получим:

22. Решить уравнение

Решение:

Умножим левую и правую части уравнения на

Т.к. по формуле сложения cosα ּ cosβ + sinα ּ sinβ=cos﴾α-β﴿,то перепишем ур-ние:

Использованная литература

1. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. «Пособие по математике для
   поступающих в вузы».

2. Мельников И.И., Сергеев И.Н. «Как решать задачи по математике на
   вступительных экзаменах».

3. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. «Конкурсные задачи по
   математике».

4. Будак А.Б., Щедрин Б.М. «Элементарная математика».

5. Сайдаматов Э.М. и др. «Алгебра и основы математического анализа. 2 часть».2007.

6. Abduhamidov A. U. «Algebra va matematik analiz asoslari. 2 qism.» 2006

16