Урок математики "Приближенные методы вычисления определенных интегралов"

ФГОУ СПО «Волго-Каспийский морской рыбопромышленный колледж»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

по дисциплине «Математика» на тему:

«Приближенные методы вычисления определенных интегралов»

Автор Земцов Д.В.

Рецензент Шальнова Т.А.

Астрахань

2010

ТЕМА УРОКА Приближенные методы вычисления определенных интегралов.

ЦЕЛИ УРОКА

1. дидактические:

- разработка приближенных методов вычисления определенных интегралов: метода прямоугольников и метода трапеций;

- формирование умений и навыков вычисления определенных интегралов методами прямоугольников и трапеций с применением научного калькулятора;

1. воспитательная – воспитание самостоятельности, инициативности, решительности, уверенности в себе, стремления к творческому поиску и исследовательской деятельности;

2. развивающая – развитие концентрации внимания, абстрактно-логического мышления, грамотной математической речи, творческих способностей;

3. методическая – использование проблемного изложения учебного материала.

ТИП УРОКА урок новых знаний.

МЕТОДЫ

ОБУЧЕНИЯ проблемное изложение учебного материала.

СВЯЗИ

Раздел 4. Дифференциальное исчисление.

Тема 4.4. Дифференциал функции и его приложение к приближенным вычислениям.

Раздел 5. Интегральное исчисление.

Тема 5.1. Неопределенный и определенный интегралы, методы их решений.

МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЕ

СВЯЗИ

1. Дисциплина «Естествознание».

Раздел 2. Современные естественнонаучные знания о мире.

Тема 2.4. Важнейшие естественнонаучные идеи и открытия.

Тема 2.5. Вещество и поле, их взаимодействие.

2. Дисциплина «Экономическая статистика».

Тема 4. Отражение результатов производства.

МАТЕРИАЛЬНОЕ

ОБЕСПЕЧЕНИЕ интерактивная доска, 12 слайдов, научные калькуляторы, раздаточный материал.

Студент должен

знать:

формулы приближенного вычисления определенного интеграла:

- формулу прямоугольников;

- формулу трапеций.

уметь:

- вычислять определенные интегралы приближенно методами прямоугольников и трапеций.

1. Организационный момент

Приветствие, речь преподавателя:

«Сегодня мы продолжаем изучать раздел математики «Интегральное исчисление». Так как вы получаете профессиональное образование, хочу напомнить, что целью наших уроков является не только приобретение математических знаний, умений и навыков, но и развитие тех качеств личности, которые важны для вас, как для будущих специалистов. Как обычно, сегодня на уроке ваша деятельность будет не просто познавательной, но и исследовательской, то есть вы будете сами открывать для себя новые знания, развивая при этом самостоятельность, инициативность, решительность, ответственность и творческое мышление. Ведь нет предела для самосовершенствования, хотя математик бы сказал, что этот предел существует, и равен «плюс-бесконечности». Так давайте стремиться к «плюс-бесконечности»!».

2. Сообщение темы, целей урока

Преподаватель объявляет тему урока (слайд №1), привлекает студентов к постановке целей урока.

3. Мотивация

Чтобы вдохновиться на изучение нового материала, вспомним о полезности интеграла.

Выясним, в чем состоит экономический смысл интеграла (слайд № 2). Рассмотрим две функции: f(t) – функцию производительности труда от времени и u(t) – функцию объема произведенной продукции от времени. Функция f есть производная функции u. Тогда скажите, чем является функция u для функции f? (студенты дают ответы). Итак, объем произведенной продукции есть первообразная производительности труда.

Применение интеграла в естествознании (преподаватель спрашивает студентов о применении интеграла в физике, так как это относится к теме предыдущего занятия). Теперь, вспомнив о практической значимости интеграла, перейдем к этапу воспроизведения знаний, необходимых нам для изучения новой темы.

4. Актуализация опорных знаний

1. Что называют неопределенным интегралом функции ?

2. Что называют определенным интегралом от a до b функции ?

3. В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла?

4) Какие два метода интегрирования вы знаете?

5) Какие вопросы можно задать об этих двух методах? (выбранный студент опрашивает группу о том, на чем основан метод непосредственного интегрирования и в каких случаях применяется метод замены переменной).

6) Что называют прямоугольником? Создайте на интерактивной доске изображение прямоугольника и запишите формулу его площади (один студент создает изображение фигуры и записывает формулу на доске, в то время как другой в это время формулирует определение и теорему о площади).

7) Выполните те же задания, но для трапеции.

Теперь, собрав в голове все самые важные знания, мы готовы к изучению нового материала.

5. Изложение нового материала

5.1. Преподаватель создает проблемную ситуацию, состоящую в нахождении интеграла (слайд № 3). Студенты делают вывод о том, что в этом случае не применимы изученные методы и признают ситуацию проблемной.

5.2. Студенты формулируют учебную проблему урока и записывают ее в тетрадь (слайд № 4).

5.3. Преподаватель ставит перед студентами проблемную задачу (слайд № 5, раздаточный материал), состоящую в приближенном вычислении площади территории страны, и предлагает высказать гипотезы. Студенты высказывают гипотезы и оформляют решения на интерактивной доске.

5.4. Студентам предлагается вывести на основе предложенных гипотез новые формулы вычисления площади криволинейной трапеции (определенного интеграла). Студенты работают самостоятельно, а затем записывают свои рассуждения на интерактивной доске.

5.5. Выведенные формулы (слайд № 6) студентами записываются в тетрадь. Делаются выводы о достоинствах и недостатках разработанных методов.

Мы разработали два новых метода вычисления интеграла. Теперь перейдем к этапу закрепления этих знаний при решении задач.

6. Закрепление материала

6.1. Упражнение на запоминание и воспроизведение выведенных формул с помощью интерактивной доски (слайды № 7-8). Преподаватель: «А сейчас мы проведем упражнение на развитие концентрации внимания и кратковременной памяти. Внимательно посмотрите на выведенные формулы и постарайтесь их запомнить (пауза). Кто из вас готов собрать эти формулы из разбросанных на слайде символов?». Студенты выполняют упражнение на интерактивной доске.

6.2. Упражнение по обучению работе на научном калькуляторе (изучение функции 2^nd F).

6.3. Решение задач на применение методов прямоугольников и трапеций к вычислению определенного интеграла (слайды № 9-10).

6.4. Самостоятельная работа (слайд № 11).

7. Подведение итогов урока

Обобщаются новые знания, делаются выводы о достигнутых целях. Отмечаются активные студенты.

8. Домашнее задание

Студенты записывают домашнее задание (слайд № 12), преподаватель объясняет способ его выполнения.

Приложения: содержание слайдов электронной презентации.

Слайд 1.

Тема урока:

«Приближенные методы вычисления определенных интегралов»

Слайд 2.

Экономический смысл интеграла

Z(t) — функция производительности труда от времени

V(t) — функция объема произведенной продукции от времени

Z(t) =V'(t)

V(t) — первообразная Z(t)

Объем произведенной продукции есть первообразная производительности труда

Слайд 3.

Вычислить интеграл:

Слайд 4.

Учебная проблема урока

состоит в том, что изученные методы интегрирования (непосредственный и замены переменной) не являются универсальными, и потому необходимо разработать новые методы вычисления определенных интегралов, а также площадей криволинейных фигур

Слайд 5.

Проблемная задача

Вычислить приближенно площадь территории суши:

Слайд 6.

1. Формула метода прямоугольников:

1. Формула метода трапеций:

f(x)

dx

f(x) ) dx + (

Слайд 9.

Задача 1. Вычислить приближенное значение интеграла методом прямоугольников при n=2; сравнить результат с точным, полученным с помощью формулы Ньютона-Лейбница:

Слайд 10.

Задача 2. Вычислить интеграл приближенно методом трапеций при n=10 (все результаты округлять до тысячных):

Слайд 11.

Самостоятельная работа

Слайд 12.

Домашнее задание:

И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул «Математика для техникумов», М., «Наука», 1990г. - §51; Решить № 9.45:

Вычислить интеграл приближенно методами: 1) прямоугольников; 2) трапеций и точно – по формуле Ньютона-Лейбница; найти абсолютные погрешности приближений:

5