Урок по теме: "Исследование функции на монотонность"

Предмет: Алгебра и начала математического анализа.

Класс: 10

УМК: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы А.Г. Мордкович, 2019г.

Уровень обучения: базовый уровень

Тема: Исследование функции на монотонность

Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 2

Место урока в системе уроков по теме: 1

Цель: выявить связь между характером монотонности функции и знаком её производной

Задачи:

Обучающие:

дать представление о связи свойств функции с её производной, учить чтению и анализу графиков функций;

развивать умение анализировать, сопоставлять, сравнивать, формулировать выводы по результатам собственной деятельности.

Развивающие:

развивать такие качества личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, алгоритмическая культура, интуиция, критичность.

Воспитательные:

воспитывать средствами математики культуру личности: умения выслушать и принимать во внимание взгляды других людей, умение справляться с неопределённостью и сложностью.

Планируемые результаты:

знать связь между характером монотонности функции и знаком её производной;

уметь исследовать интервалы монотонности функции.

Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, презентация, учебник.

Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: слайды презентации, карточки с заданиями.

Содержание урока:

1. Организационный момент.

2. Проверочная работа.

3. Объяснение нового материала.

4. Формирование умений и навыков.

5. Проверка уровня знаний и умений по теме

6. Итоги урока.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

1. Укажите количество промежутков монотонности функции (Слайд 2). (10)

1. На графике функции найдите промежутки убывания и в ответе укажите сумму длин этих промежутков (Слайд №).(12)

1. На графике найдите промежутки возрастания и в ответе укажите сумму длин этих промежутков (Слайд 4). (11)

1. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=3t²+2t+27, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=2c. (Слайд 5). (14)

5). Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х = –2. (Слайд 6) (у=-х+8)

Самопроверка (Слайд 7).

III. Объяснение нового материала.

Учащиеся способны самостоятельно установить связь между характером монотонности функции и знаком её производной. Для этого необходимо снова обратиться к геометрическому смыслу производной.

Задание. На рисунке изображен график функции у = f(x). (Слайд8)

а) Какой знак имеет производная этой функции в следующих точках: –5; –3; –2; 0; 1; 3?

б) Назовите ещё несколько точек, в которых производная больше нуля; меньше нуля.

в) Какой знак имеет производная функции у = f(x) на промежутке (–6; –2); (–2; 1); (1; 4)?

г) Сделайте предположение о связи между характером монотонности функции и знаком её производной.

После этого изучаются теоремы, устанавливающие связь между характером монотонности функции на промежутке и знаком её производной на этом промежутке. Данные теоремы приводятся без доказательства с опорой на наглядные представления учащихся.(Слайд 9)

Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f′(x)≥0 (причем равенство f′(x)=0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке) , то функция y=f(x)) возрастает на промежутке X.

Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f′(x)≤0 (причем равенство f′(x)=0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция y=f(x) убывает на промежутке X.

Итак: если существует производная функции в интервале (a,b) и в данном интервале

1) f'(x)≥0, то функция в нём не убывает;

2) f'(x)≤0, то функция в нём не возрастает;

3) f'(x)0, то функция в нём возрастает;

4) f'(x), то функция в нём убывает.(Слайд 10).

 Пример: Необходимо исследовать интервалы монотонности функции f(x)=x3−4x2−16x+17.

 Сначала находим производную: f'(x)=(x³−4x²−16x+17)'=3x²−8x−16.

Это парабола, которая пересекает ось x  в точках x₁=−43 и x₂=4 и чьи ветви направлены вверх. Поэтому производная отрицательна в интервале (−43;4) (функция убывает) и положительна в интервалах (−∞;−43) и (4;+∞) (функция возрастает).

 Ответ: функция f(x)=x³−4x²−16x+17 возрастает в интервалах (−∞;−43) и (4;+∞), убывает в интервале (−43;4).

IV. Формирование умений и навыков.

Все задания можно разбить на две группы.

1-я группа. Выявление свойств производной по графику функции.

2-я группа. Выявление свойств функции по графику её производной.

1-я группа.

1. № 30.1.

2. Функция определена на промежутке [–5; 5]. На рисунке изображен её график. Определите по графику промежутки, на которых производная этой функции положительна (отрицательна).

3. Функция у = f(x) определена на промежутке [–6; 7]. Найдите количество целочисленных решений неравенства:

а)

б)

4. № 30.7.

2-я группа.

1. № 30.3 (а; г).

2. № 30.4

3. № 30.8 (а; г).

Решение:

г)

При переходе через точку х = –1 производная не поменяла знак. Это означает, что функция до точки х = –1 возрастала, затем «изогнулась» (чтобы касательная была параллельна оси абсцисс) и продолжила возрастать.

V. Проверка уровня знаний и умений по теме «Связь свойств функции и производной» в форме тестирования.

Вариант I

Н а рисунке изображён график производной некоторой функции. Укажите в таблице интервалы, на которых функция обладает указанным свойством:

Вариант II

Н а рисунке изображён график производной некоторой функции. Укажите в таблице интервалы, на которых функция обладает указанным свойством:

ОТВЕТЫ (Слайд 11)

Вариант I

Вариант II

VI. Итоги урока. (Слайд 12)

– Если функция у = f(x) возрастает на некотором промежутке, то что можно сказать о знаке её производной на этом промежутке?

– Если производная некоторой функции у = f(x) принимает на промежутке только отрицательные значения, то что можно сказать о характере монотонности этой функции на этом промежутке?

– Сформулируйте теоремы, устанавливающие связь между характером монотонности функции и знаком её производной.

Домашнее задание: № 30.3 (б; в), № 30.5, № 30.8 (б; в), № 30.10 (б).(Слайд 13)

Рефлексия

МАОУ «Фёдоровская СОШ» Акбулакского района

Оренбургской области

Ионова Евгения Викторовна

Укажите количество промежутков монотонности функции

На графике функции найдите промежутки убывания и в ответе укажите сумму длин этих промежутков

На графике найдите промежутки возрастания и в ответе укажите сумму длин этих промежутков

• Материальная точка движется прямолинейно по закону x ( t )=3 t 2+2 t +27, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=2c.

• Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

х = –2.

Ответы

• 10
• 12
• 11
• 14
• у= -х+8

Задание. На рисунке изображен график функции у = f ( x ).

а) Какой знак имеет производная этой функции в следующих точках: –5; –3; –2; 0; 1; 3?

б) Назовите ещё несколько точек, в которых производная больше нуля; меньше нуля.

в) Какой знак имеет производная функции у = f ( x ) на промежутке (–6; –2); (–2; 1); (1; 4)?

г) Сделайте предположение о связи между характером монотонности функции и знаком её производной.

Теорема 1 . Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f′(x)≥0 (причем равенство f′(x)=0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке) , то функция y=f(x)) возрастает на промежутке X.

Теорема 2 . Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f′(x)≤0 (причем равенство f′(x)=0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция y=f(x) убывает на промежутке X.

0, то функция в нём возрастает; 4) f'(x)

Итак: если существует производная функции в интервале (a,b) и в данном интервале

1) f'(x)≥0, то функция в нём не убывает;

2) f'(x)≤0, то функция в нём не возрастает;

3) f'(x)0, то функция в нём возрастает;

4) f'(x)

ОТВЕТЫ: Вариант I Вариант II

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Итоги урока

– Если функция у = f ( x ) возрастает на некотором промежутке, то что можно сказать о знаке её производной на этом промежутке?

– Если производная некоторой функции у = f ( x ) принимает на промежутке только отрицательные значения, то что можно сказать о характере монотонности этой функции на этом промежутке?

– Сформулируйте теоремы, устанавливающие связь между характером монотонности функции и знаком её производной.

№ 30.3 (б; в),

№ 30.5,

№ 30.8 (б; в),

№ 30.10 (б).

• № 30.3 (б; в), № 30.5, № 30.8 (б; в), № 30.10 (б).

«Для меня сегодняшний урок…»

Урок

Я на уроке

1. интересно

Итог

1. работал

2. скучно

2. отдыхал

1. понял материал

3.безразлично

2. узнал больше, чем знал

3.помогал другим

3.не понял