Введение в математический анализ
Понятие функции, свойства функций
Определение : Пусть даны два числовых множества X и Y. Функцией называется правило, по которому каждой переменной соответствует одно и только одно значение .
Функция обозначается или или
.
Переменная x – независимая переменная или аргумент функции; переменная y – зависимая переменная или значение функции.
Определение : Множество всех значений независимой переменной x , при которых функция существует называется областью определения функции и обозначается D(y).
Определение : Множество всех возможных значений зависимой переменной y называется областью значений функции и обозначается E(y).
Используют следующие способы задания функции:
1.Аналитический способ – задание функций с помощью формул. Например,
, .
2.Графический способ – задание функций с помощью графика. Например,
3.Табличный способ – задание функций с помощью таблиц.
Например,
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
y | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
t | 5 | 10 | 15 | 20 | |||
S | 10 | 15 | 20 | 40 |
4. Словесный способ – задание функций с помощью алгоритма вычисления. Например,
- целая часть числа х.
Целая часть числа х – это ближайшее целое число, не превосходящее самого числа х.
Свойства функций приведены в таблице:
Название свойства | Определение | Графическое изображение | ||
Нули функции |
Нулём функции называется то значение х, при котором функция обращается в 0, то есть . |
y
x1 x2 x3
x
Нули – это точки пересечения графика функции с осью Ох. | ||
Четность функции |
Функция называется чётной , если для любого х из области определения выполняется равенство
|
y
x
Четная функция симметрична относительно оси Оу | ||
Нечет-ность функции |
Функция называется нечётной , если для любого х из области определения выполняется равенство . |
y
x
Нечетная функция симметрична относительно начала координат . | ||
|
Функция которая не является ни чётной ,ни нечётной называется функцией общего вида. |
y
x | ||
Возрас-тание функции | Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е.
| | ||
Убывание функции |
Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е.
| | ||
|
Промежутки, на которых функция либо только убывает , либо только возрастает называются промежутками монотонности .
|
имеет 3 промежутка монотонности :
| ||
Локаль-ный максимум |
Точка х0 называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: . | | ||
Локаль-ный минимум |
Точка х0 называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: . | | ||
|
Точки локального максимума и точки локального минимума называются точками локального экстремума. |
y max
min x1 x2 x
y
1
0 1 2 3 x точки локального экстремума. | ||
Перио-дичность функции |
Функция f(x) называется периодичной, с периодом Т , если для любого х выполняется равенство .
| | ||
Проме-жутки знакопос-тоянства |
Промежутки, на которых функция либо только положительна, либо только отрицательна называются промежутками знакопостоянства.
|
y
x1 x2 x3 x
| ||
Непре-рывность функции |
Функция называется непрерывной в точке , если предел функции при равен значению функции в этой точке, т.е. . |
y
x | ||
Точки разрыва |
Точки, в которых нарушено условие непрерывности называются точками разрыва функции.
|
- точка разрыва. |
Теория пределов
Определение: Число А называется пределом функции y=f(х) при х, стремящемся к а, если для любой последовательности чисел х1, х2, х3, …, .хn ,… сходящейся к числу а, следует, что последовательность значений функции f(х1), f(х2),…, f(хn)… сходится к числу А.
Предел функции в точке а обозначается
.
Основные теоремы о пределах
Приведем основные теоремы, на которых основано вычисление пределов:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
! Все правила имеют смысл, если пределы функций и существуют.
Техника вычисления пределов
При вычислении предела элементарной функции f(x) приходится сталкиваться с двумя существенно различными типами примеров.
Функция f(x) определена в предельной точке x = a. Тогда
.
Функция f(x) в предельной точке x = a не определена или же вычисляется предел функции при x→∞. Тогда вычисление предела требует в каждом случае индивидуального подхода.
Необходимо помнить, что
, , , , , .
Более сложными случаями нахождения предела являются такие, когда функция f(x) в точке x = a или при x→∞ представляет собой неопределенность (типа , , , , , , ).
При вычислении пределов при основные теоремы о пределах сохраняют силу и, кроме того, используются правила:
а) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной;
б) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наименьшую степень переменной ;
в) чтобы раскрыть неопределенность типа , иногда достаточно числить и знаменатель дроби разложить на множители и затем сократить дробь на множитель, приводящий к неопределенности;
г) чтобы раскрыть неопределенность типа , зависящую от
иррациональности, достаточно перевести иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель и сократить на множитель, приводящий к неопределенности;
д) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби одновременно умножить на сопряженное выражение и тем самым свести к неопределенности вида или .
Рассмотрим некоторые примеры.
Вычислить пределы функций:
Пример 1:
Пример 2:
Пример 3:
=
Пример 4:
Пример5:
Литература: стр. 188-204, задания № 6.23-6.50, стр.198.
Вопросы для самопроверки:
Что называется функцией?
Что такое область определения и область значений функции
Перечислите способы задания функций, их достоинства.
Перечислите основные свойства функций.
Дайте определение предела функции в точке.
Какая функция называется непрерывной в точке?
Сформулируйте основные свойства пределов.
Как раскрывается неопределенность вида , ?