Закон Стефана–Больцмана

В предыдущей главе мы вывели зависимость плотности энергии излучения от частоты. Во многих задачах используются интегральные по спектру характеристики: плотность энергии, интенсивность и поток. Сначала вычислим плотность энергии. Затем определим понятия интенсивности и потока и выведем формулу для полной интенсивности. В конце главы сформулируем модель границы изотропного источника, в рамках которой справедлива формула Стефана-Больцмана.

Проинтегрируем формулу (4.7) главы 2 по всему интервалу частот:

Переходя, как обычно, к безразмерной переменной

получим, что плотность энергии пропорциональна четвёртой степени температуры:

Вычислим безразмерный интеграл в правой части последней формулы. Он является частным случаем интегралов вида

соответствующим n = 4. Разложим дробь в подынтегральном выражении:

Искомый интеграл представляется в виде ряда

каждое слагаемое которого аналитически выражается через гамма-функцию

Следовательно,

Сумма в последней формуле известна как дзета–функция Римана:

Выпишем ряд её значений, некоторые из которых понадобятся нам в дальнейшем:

Функция (n) имеет аналитическое выражение при чётных значениях аргумента. Итак, множитель пропорциональности в формуле, выражающей зависимость плотности энергии U от температуры T:

(1.1) U = a·T⁴,

равен

В последней формуле присутствует постоянная Больцмана

k = 1.3802·10^–16 эрг/К,

означающая, что температура в ней выражена в градусах Кельвина.

Иногда множитель a называют постоянной Стефана–Больцмана для плотности энергии. Используется также другая форма закона Стефана–Больцмана, связывающая полный поток F и температуру чёрного тела:

F = T⁴.

Чтобы определить величину , необходимо сформулировать модель, в которой поток от чёрного тела отличен от нуля. Такая модель будет изложена в следующих разделах, а сейчас вычислим полное число квантов N_ф в единичном объёме чёрного тела. Для этого проинтегрируем по всем частотам формулу (4.8) второй главы:

Если измерять температуру в градусах Кельвина, то

(1.3) N_ф ≈ 20.3·T³.

В качестве примера оценим плотность числа фотонов реликтового излучения, температура которого, как известно, равна 2.73 К:

Последняя величина значительно превышает среднюю плотность частиц во Вселенной, которая по разным оценкам лежит в диапазоне от 10^–3 см^–3 до 10^–6 см^–3.

Описание поля излучения основано на понятии интенсивности как энергии, протекающей через единичную площадку за единицу времени в заданном направлении в избранном интервале частот. Хотя интенсивность является характеристикой только поля излучения и не зависит от способа измерения, для её определения полезно ввести представление о некотором абстрактном приборе, который мы назовём «контрольной площадкой».

Контрольной площадкой будем считать плоскую поверхность небольших размеров (рис. 2.1), на которой задано направление. Обозначим через S её площадь, а n — перпендикулярный ей единичный вектор.

Направление излучения характеризуется двумя величинами: вектором k и телесным углом  вокруг него. При известных k и  говорят об «излучении в направлении k внутри телесного угла ». Иногда речь идёт просто об излучении в определённом направлении k, при этом телесный угол  подразумевается.

Понятие интенсивности даёт наиболее полное представление о пространственном и частотном распределении фотонов (при необходимости — и о состояниях поляризации).

Вначале сосредоточим внимание на той части излучения, которая проходит в направлении вектора n. Величины S и  положим настолько малыми, что излучение можно считать однородным вдоль площадки и не зависящим от направления внутри телесного угла . Будем следить за прохождением излучения в течение столь короткого промежутка времени, что никакие его характеристики не успевают измениться. В таких условиях количество энергии E, протекшей через площадку за время t в интервале частот ω, пропорционально произведению S··ω·t. Следовательно, отношение

не зависит от размеров контрольной площадки, продолжительности измерения и выбранного угла раствора.

Но последнюю формулу ещё нельзя считать полноценной характеристикой поля излучения, так как осталась зависимость от направления площадки. Действительно, если наклонить площадку так, что векторы k и n образуют угол , то в том же самом поле излучения количество энергии, прошедшей через площадку, уменьшится пропорционально |cos|.

Величина энергии, протекающей сквозь площадку, пропорциональна площади её проекции на плоскость волнового фронта:

E  S cos.

4