Системы счисления

Сегодня на уроке мы вспомним:

· что такое системы счисления;

· какие виды систем счисления бывают;

· как вычислить значение числа, представленного в римской системе счисления;

· как сформировать развёрнутую запись числа в десятичной системе счисления.

Для записи чисел люди с давних времён используют специально придуманные для этого значки – цифры.

Система счисления – это совокупность обозначений, приёмов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Совокупность цифр называется алфавитом системы счисления.

Вспомним виды систем счисления:

· унарная система;

· непозиционная система;

· позиционная система.

Унарная система счисления самая древняя. Для записи чисел в ней использовался всего один символ, например, камушек, зарубка, палочка, точка и так далее. Чем больше палочек – тем больше число. Унарная система – это основа любого счёта. По-другому её называют системой бирок. Самый простой пример унарной системы – когда в детстве мы начинаем считать что-либо на пальцах.

В непозиционной системе счисления количественное значение каждой цифры не зависит от занимаемой ею позиции в изображении числа. Примером такой системы является египетская система счисления. В ней иероглифы, составляющие число, можно записывать сверху вниз, справа налево или вперемежку, так как значение числа равно сумме значений цифр его записи.

Римская система счисления также является примером непозиционной системы счисления. В ней для записи чисел используются буквы латинского алфавита.

В римской системе цифры записывают слева направо: сначала число тысяч, потом сотен, десятков и единиц.

Натуральные числа записывают при помощи повторения этих цифр.

Но, если большая цифра стоит перед меньшей, то они добавляются (принцип сложения), если же меньшая – перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее правило используется, чтобы не использовать четырёхкратное повторение одной цифры. Например, чтобы записать цифры 9, 90 и 900, необходимо сделать следующие записи.

Цифры 4, 40 и 400 записываются вот так.

I, Х, С ставятся соответственно перед Х, С, М для обозначения 9, 90, 900 или перед V, L, D для обозначения 4, 40, 400. Например, VI = 5 + 1 = 6, IV = 5 – 1 = 4 (вместо IIII); XIX = 10 + 10 – 1 = 19 (вместо XVIIII), XL = 50 – 10 = 40 (вместо XXXX).

Сейчас римская система счисления чаще всего используется для:

· Обозначения веков.

· Обозначения порядковых числительных.

· Обозначения производных небольших порядков.

· Обозначения валентности химических элементов.

Давайте попробуем вычислить значение вот этого числа (MMMCDXXIX), представленного в римской системе счисления.

Итак, найдём позиции, где цифры записаны не по убыванию значений. Для расчёта значения, которые мы выделили скобками, необходимо будет вычитать (из большего меньшее), а остальные значения складываем.

Получается следующая запись:

1000 +1000 + 1000 + (500 – 100) + 10+ 10 + (10 – 1) = 3429

В непозиционных системах счисления довольно затруднительно делать большинство действия над числами, например, при умножении и делении получается очень громоздкая запись. Поэтому большое распространение получили позиционные системы счисления.

Это системы, в которых количественное значение каждой цифры зависит от её позиции в числе.

Ключевым отличием позиционной системы счисления от непозиционной является то, что в позиционной системе счисления вес каждой цифры зависит от её положения в числе.

Кстати, если мы посмотрим на эти числа, то они указывают на то, что система является позиционной, так как вес цифры I (один) в этих числах зависит от её положения относительно цифры V (пять). Но наличие в системе счисления числа II (два), в котором вес обеих цифр одинаковый, сразу переводит римскую систему счисления в категорию непозиционных.

Количество цифр в алфавите позиционной системы счисления называют основанием системы счисления (или мощностью алфавита). Восьмеричной системой называют систему с основанием 8, двоичную – с основанием 2.

Разрядом называется место цифры в числе, а разрядностью – количество цифр в числе. У целого числа разряды нумеруются справа налево начиная с ноля. Дробные разряды нумеруются слева направо начиная с минус единицы.

Как мы помним, десятичная система записи чисел является примером позиционной системы счисления. Её алфавит состоит из 10 цифр. Каждая цифра в числе при перемещении справа налево в следующий разряд увеличивает своё значение в 10 раз. Чтобы определить значение числа, необходимо сложить произведения его цифры на 10 в степени, которая равна разряду этого числа.

Так как системы счисления могут иметь разные основания, то для того, чтобы понимать, в какой системе счисления записано число, указывают его основание в виде нижнего индекса справа от числа. Сам индекс записывают числами десятичной системы счисления. Для десятичной системы основание обычно не записывают, если только не используются числа и других систем.

753 – число в десятичной системе счисления.

753₂ – число в двоичной системе счисления.

753₈ – число в восьмеричной системе счисления.

Основанием позиционной системы счисления может быть любое натуральное число q>0.

Если основание системы больше 10, то цифры от 10 и старше при записи обозначают буквами латинского алфавита.

Например, цифре 10 соответствует бука А, а цифре 13 – D.

Кстати, очень частая ошибка, когда считают, что 11 соответствует буква А!

Достоинствами позиционных систем счисления являются простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, которые необходимы для записи каких-либо чисел.

Любое число в позиционной системе с основанием q может быть представлено в следующем виде:

Такая формула называется развёрнутой формой записи.

А вот эта формула называется свёрнутой формой записи.

Давайте вспомним, как сформировать развёрнутую запись числа в десятичной системе счисления, например, для числа 5362,52.

В конце урока попробуйте ответить на следующие вопросы:

Что такое система счисления?

Чем отличается позиционная система счисления от непозиционной?

Правда ли, что в унарной системе счисления вообще не используются символы?

Что такое разряд и разрядность?

Внимательно посмотрев урок, вам не составит труда ответить на вопросы.